Kurve mit Einheitskreis

Question

Welche Werte kann das Integral
\( \int \limits_{\gamma} \frac{z}{z^{2}-1} \mathrm{~d} z \)
für geschlossene Kurven \( \gamma \) annehmen, die außerhalb des Einheitskreises verlaufen (also \( |\gamma(t)|>1 \) für alle \( t \) )?

Problem/Ansatz:
z ²−1=(z−1)(z+1) so habe ich den Nenner faktorisiert.

Die Polstellen liegen somit im Einheitskreis und sind damit ausgeschlossen.

Dazu jetzt die Frage: Wenn ich eine Kurve integriere und die  keine Polstellen der Funktion einschließt - ist das dann nicht einfach 0?

Comments

Eine geschlossene Kurve, die außerhalb des Einheitskreises verläuft, kann doch auch den Einheitskreis einschließen, z.B der Kreis mit Radius 2.

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Aber dann wäre das kein  kreis sondern nur die hülle dies Kreises zwischen dem Radius 1 und 2

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Was denn für eine Hülle? Eine Kurve ist geometrisch eine Linie, im Falle eines Kreises also eine Kreislinie.

Answer 1

Da \(\gamma\) nicht weiter charakterisiert ist, lege ich dir die sogenannte Umlaufzahl (auch Index genannt) einer Kurve nah:

\(\operatorname{ind}_{\gamma}(z_0) = \frac 1{2\pi i} \int_{\gamma}\frac{dz}{z-z_0}\)

Damit gilt:
\(\int_{\gamma}\frac{z}{z^2-1}\,dz= \frac 12 \int_{\gamma}\left(\frac 1{z-1} + \frac 1{z+1}\right)dz= \pi i\left(\operatorname{ind}_{\gamma}(1) + \operatorname{ind}_{\gamma}(-1)\right)\)

Aufgrund von \(|\gamma(t)|>1\) läuft die Kurve immer gleich oft in der gleichen Richtung um 1 und -1 oder eben gar nicht.

Ich denke, damit kommst du weiter, oder?