Zeigen Sie: das Komplement G−H von H erzeugt die Gruppe G.

Question

Aufgabe:

Sei H ̸= G eine echte Untergruppe einer Gruppe G. Zeigen Sie: das Komplement G−H von H erzeugt die Gruppe G.

Leider habe ich überhaupt keinen Ansatz wie ich von dem Erzeugnis von G-H auf G kommen soll…

Comments

(ℤ,+) ist ja eine echte Untergruppe von (ℝ,+).
Wenn du zwei irrationale Zahlen kennst, deren Summe 7 ist und das verallgemeinerst, bist du fertig.

Answer 1

Ich bezeichne die von \(G\setminus H\) erzeugte Untergruppe mit \(\langle G\setminus H \rangle\).

Du bist fertig, wenn du \(H \subset \langle G\setminus H \rangle\) zeigen kannst.

Da \(H\) echte Untergruppe ist, ist \(G\setminus H \neq \emptyset\).

Nun gilt für jedes \(h\in H\):

\(h(G\setminus H) \subset G\setminus H\)

Denn angenommen: \(hx = h' \in H\) für ein \(x \in G\setminus H\)

\(\Rightarrow x=h^{-1}h' \in H\) Widerspruch!

Sei also \(h \in H\) und \(x,y \in G\setminus H\) mit \(hx=y\):

\(\Rightarrow h=yx^{-1} \in \langle G\setminus H \rangle\), da \(\langle G\setminus H \rangle\) Untergruppe ist.

Fertig.

Answer 2

Die Idee ist, dass du hier für jedes Element x in der Gruppe H eine Zerlegung

x = (h_1)^(k_1)* … * (h_n)^(k_n)

findest, wobei h_i in G \ H sind (für alle i < n-1). Bemerke, dass das der Fall ist, da nach Voraussetzung G \ H nicht die leere Menge ist.

Beispiel: Die Menge Z (die ganzen Zahlen) ist bzgl. + eine echte Untergruppe von Q (den rationalen Zahlen) und es gilt <Q \ Z> = Q, denn wenn x in Z ist, so findet man Zahlen q_1,…,q_n in Q \ Z, sodass x = (q_1)^(k_1) + … + (q_n)^(k_n) ist. (Beispiel: Für die ganze Zahl 2 gilt die Zerlegung 2 = 1/2 + 3/2, wobei 1/2, 3/2 in Q \ Z sind). Wenn x in Q \ Z ist, so ist die Behauptung fast schon trivial.