Frage zu Polynomen und deren Graden?

Question

wieso setzt man deg 0 = -unendlich ? mfg Michael

Comments

In welchen Zusammenhang hast du das angetroffen?

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Also ich habe gelesen das man es so setzt und jetzt weiß ich nicht warum.

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Achso und davor war noch folgende,Aufgabe gestellt: Seien P und Q Polynome mit Graden deg P = m und deg Q = n, dann hat das Produkt von P und Q den Grad deg(P•Q) = m+n, wobei wir wissen, das bei P, a(Koeffizient m) ungleich 0 ist, und bei Q, das b(Koeffizient n) ungleich 0 ist. Also C(Koeffizient m+n) = a0bm+n + a1bm+n-1 + a2bm+n-2 + ... + a m+nb0 ( 1 ), aber schon die ersten Summanden dieser riesigen Summe sind Null. Wieso ist das so ? Nun das Polynom Q hat den Grad n, also sind alle Koeffizienten ab b n+1 = b n+2 = b n+3 = ... = 0. In der Gleichung ( 1 ) verschwindet also der Summand am bn nicht (und dieses Produkt ist wirklich ungleich Null, weil wir aus den Voraussetzungen schon am ungleich 0 und bn ungleich 0 wissen). Im Polynom P genauso verschwinden alle Koeffizienten ab a n+1 = a n+2 = a n+3 = ... = 0, also bleibt C m+n = am bn ist ungleich 0. Beweise C m+n+1 = C m+n+2 = C m+n+3 = ... = 0. So ind bei dieser letzten Frage komme ich auch nicht weiter das hängt wahrscheinlich irgendwie zusammen.

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Also wie jetzt ?

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Könntest du mal bitte die gesamte Aufgabe im Zusammenhang schreiben.

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Also erstmal steht die Aufgabe da oben, also Beweise, dass alle Koeffizienten ab C m+n+1 = C m+n+2 = C m+n+3 = 0 sind. Weiter : (b) Stimmt diese Formel auch, falls eines oder beide der Polynome P und Q das Nullpolynom ist ? (c) Verstehst du jetzt, wieso man deg 0 = -unendlich setzt ?

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Ich glaube ich verstehe was dort steht. Aber ich bat um die gesamte Aufgabe. Kannst du ein Foto machen? Ansonsten kann ich vermutlich nichts dazu sagen. Weil ich auch nicht weiß wie deg 0 = - unedlich dort steht.

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Ich weiß jetzt nicht wie man hier ein Foto hochlädt, aber -unendlich heisst minus unendlich, also dieses Zeichen mit der um 90° gedrehten 8 und davor halt noch ein minus.

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@Mikel Makeev: Klick doch einfach auf Bild einfügen?

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Mikel ? :D Ich schicks dann morgen, ich benutze grad bloß ein Handy))

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Oh sorry hab mich vertippt :D

Ahso na dann:)

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Lade ich hoch meint ich))

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Also das ist die gesamte Aufgabe. Erstmal soll ich den Beweis der "Gradformel" vervollständigen also beweisen dass alle Koeffizienten ab c_m+n+1 = c_m+n+2 = c_m+n+3 = o sind. Dann Das mit Nullpolynom und deg 0 = -∞ setzt und die letzte habe ich schon.

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Aber da fehlt doch der Teil auf den sich das bezieht? Also die Gradformel.

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Ja aber der ist etwas lang, aber ich mach gleich noch ein Foto))

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Ich muss drei Bilder senden))

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Hier das zweite

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Und das dritte

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Es gibt zwei gängige Methoden den Grad des Nullpolynoms definieren: $$deg(0)=-\infty$$ und $$deg(0)=-1$$. Der Vorteil ersterer Defintion ist, dass die Formeln $$deg(P+Q)\leq max\{deg(P)+deg(Q) \}$$ und $$deg(PQ)=deg(P)+deg(Q)$$ für alle Polynome gelten. Mit der zweiten Def. gilt die zweite Aussage nicht mehr.

Answer 1

Es gilt doch deg (P * Q) = m + n

Also z.b.

(ax^m + ...) * (bx^n + ...) = abx^{m+n} + ...

Jetzt stell dir mal vor wir setzen wir P oder Q das Nullpolynom ein.

0 sei jetzt das Nullpolynom

deg (0 * Q) = ? + n

Was muss jetzt dort für das Fragezeichen stehen

(0) * (bx^n + ...) = (0)

Irgendwas mal das Nullpolynom ergibt wieder das Nullpolynom

deg (0 * Q) = ? + n = ?

Die Fragezeichen müssen also eigentlich den Gleichen Wert haben. Das geht aber irgendwie nicht. Zumindest nicht für alle reellen Zahlen. Daher setzt man hier deg (0) = -∞

deg (0 * Q) = -∞ + n = -∞

Comments

Ok und was ist jetzt mit der Gradformel ? Wieso sind ab c_{m+n+1 =} c_m+n+2 = c_m+n+3 = 0 alle Koeffizienten gleich Null ?

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Denn die b) bezieht sich ja eigentlich auf die a) und da ist auch die Frage gestellt, ob diese Gradformel mit dem Nullpolynom P/Q stimmt oder nicht ?

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Könnt ihr mal bitte antworten ?))

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Weil cm+n doch der höchste Grad ist.

Wenn du folgendes multiplizierst.

(ax^3 + bx^2 + cx + d)*(ex^3 + fx^2 + gx + h)

Der Grad des ersten ist m und der Grad des zweiten Polynoms ist n. Dann ist
ax^3 * ex^3 die höchste Potenz also m + n

Alle höheren Potenzen wie m + n + 1 sind damit alle null.

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Achso und wenn P oder Q oder beide das Nullpolynom sind/ist stimmt sie dann auch also ?

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deg (0 * 0) = (-∞) + (-∞) = -∞

Das passt also auch.