Konstanten finden damit Ungleichungskette erfüllt ist

Question

Finden Sie Konstanten c>0, C>0 sodass ∀x∈ℝ⁴ folgende Ungleichungskette gilt: c*||x||_1 <= ||x||_2 <= C*||x||_1

Also ein großes C hätte gefunden, also C=1. Dazu betrachte man ||x||_2² <= ||x||_1² (das hätte ich mir hergeleitet). Aber wie genau kann ich ein "c" finden, könnte mir jemand helfen?

Comments

$C=1$ kann nicht stimmen. Setz mal $x = \begin{pmatrix} 1\\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ ein.

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2-Norm von obigem x ist 2

1-Norm von x ist 4

bestätigt: $\|x\|_2 \leq \|x\|_1$, was auch richtig ist.

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Tipp für die andere Abschätzung: Schreibe $|x_i|=1 \cdot |x_i|$ und verwende die Cauchy Schwarz Ungleichung.

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Oha. Da hatte ich heute morgen wohl noch zu wenig Kaffee. :-D

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Selbtvertändlich gilt $||x||_2 \leq C||x||_1$ mit $C=1$.

Answer 1

Tipp nicht ausführlich genug ?

$\vec{x} = \begin{pmatrix} x_1\\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{pmatrix}$

==>  $\|\vec{x}\|_1 = | x_1|+| x_2 |+|x_3 |+| x_4 |$     Tipp verwenden!

$= 1 \cdot | x_1|+ 1 \cdot | x_2 |+ 1 \cdot |x_3 |+ 1 \cdot | x_4 |$ Das ist ein Skalarprodukt:

$= < \begin{pmatrix} 1\\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} x_1\\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{pmatrix} >$  Cauchy-Schwarz

$\le \|\begin{pmatrix} 1\\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \|_2 \cdot \| \begin{pmatrix} x_1\\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{pmatrix} \|_2$

$= 2 \cdot \|\vec{x}\|_2$

Also kommst du auf c=0,5 .

Comments

Tipp nicht ausführlich genug ?

Du hast ja jetzt nicht wirklich viel Zeit und Gelegenheit gegeben...

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Ist das jeweils das größtmögliche c bzw. kleinstmögliche C?

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Ja, ist es. Gehe die jeweiligen Abschätzungen durch und prüfe, für welche Vektoren statt der Abschätzung Gleichheit gilt....