Produktionsmenge berechnen, für die der Gewinn maximal ist

Question

Wenn meine Gewinnfunktion

G(x) = -0,025x³ + 3,5x² - 25x - 2500        ist,

wie berechne ich dann die Produktionsmenge, für die der Gewinn maximal ist?

 

Ich komme gerade echt nicht weiter! :(

Danke schon mal im Voraus!

Answer 1

 

um den Wert x zu finden, für den G(x) maximal ist, müssen wir die erste Ableitung dieser Funktion gleich 0 setzen:

G'(x) = -0,075x² + 7x - 25 = 0 | : (-0,075)

x² - 280/3 + 1000/3 = 0

x_1,2 = 140/3 ± √(19600/9 - 3000/9) ≈ 140/3 ± 128,84/3

x₁ ≈ 268,82/3 ≈ 89,61

x₂ = 3,72

Nun müsste man noch die zweite Ableitung bilden und die Werte x₁ bzw. x₂ dort einsetzen.

Sicher wird sich dann ergeben

G''(x₁) < 0 => Maximum an der Stelle x₁ (x₁ noch in G(x) einsetzen, um den y-Wert zu erhalten)

G''(x₂) > 0 => Minimum an der Stelle x₂ (x₂ noch in G(x) einsetzen, um den y-Wert zu erhalten)

Graphisch sieht das etwa so aus (nicht ganz exakt eingetragen, beachte die unterschiedlichen Maßstäbe für x- und y-Achse):

Besten Gruß

Answer 2

G(x) = - 0.025·x^3 + 3.5·x^2 - 25·x - 2500
G'(x) = - 0.075·x^2 + 7·x - 25

Extrempunkte G'(x) = 0
- 0.075·x^2 + 7·x - 25 = 0
x = 89.61366242