Zeigen Sie, dass alle Graphen von f_{a} durch den Punkt P(0|1) verlaufen.

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die Funktionenschar fa(x) = -1/4 x^4 + 1/2 a^2 x^2 + 1 mit a ∈ ℝ \ {0}

a) Untersuchen Sie die Funktionenschar auf Symmetrie.

b) Zeigen Sie, dass alle Graphen von fa durch den Punkt P(0|1) verlaufen.

c) Bestimmen Sie rechnerisch die Extrempunkte sowie die Wendepunkte der Graphen von fa in Abhängigkeit von a.

Problem/Ansatz:

Kann einer mit hitze dabei helfen, schnell muss es für die Klausur wissen. Danke!!

Comments

Dankeschön, wäre es möglich wenn du es nochmal ein bisschen genauer erklärst und quasi so wie in der Klausur aufschreibst.

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Schreibe lieber, bei welchen Aufgaben du genau Verständnisprobleme hast. Ich gehe davon aus, dass du die Aufgabe eigenständig mithilfe meines Aufschriebs ausführlich nachrechnest, da ich z.B. bei den Extrem- und Wendepunkten nicht alle Umformungsschritte notiert habe.

Answer 1

Funktionenschar

fa(x) = - 1/4·x^4 + 1/2·a^2·x^2 + 1

a) Untersuchen Sie die Funktionenschar auf Symmetrie.

Achsensymmetrie, da x nur in geraden Potenzen auftritt.

b) Zeigen Sie, dass alle Graphen von fa durch den Punkt P(0|1) verlaufen.

fa(0) = - 1/4·0^4 + 1/2·a^2·0^2 + 1 = 1

c) Bestimmen Sie rechnerisch die Extrempunkte sowie die Wendepunkte der Graphen von fa in Abhängigkeit von a.

Extrempunkte

fa'(x) = - x^3 + a^2·x = x·(a^2 - x^2) = 0 → x = 0 oder x = ± a

fa(± a) = 1/4·a^4 + 1 → HP(± a | 1/4·a^4 + 1)

fa(0) = 1 → TP(0 | 1)

Wendepunkte

fa''(x) = - 3·x^2 + a^2 = 0 --> x = ± √3/3·|a|

fa(± √3/3·|a|) = 5/36·a^4 + 1 → WP(± √3/3·|a| | 5/36·a^4 + 1)