Maximale Höhe einer Blume berechnen

Question

Aufgabe:

Die Höhe einer Blume wird näherungsweise bestimmt durch h(t)=(10t+5)/(t+1), wobei t in Wochen und h(t) in cm angegeben werden. Welche maximale Höhe erreicht die Blume?

Problem/Ansatz:

ich verzweifel an folgender Aufgabe. Ich weiss, dass ich zunächst die Ableitung bilde und diese dann gleich null setze. Aber irgendwo danach hängt es. Ich rechne seit gestern. Die Nachhilfe bekommt 7,5 heraus, aber die KI sagt mir 10 ist richtig, die Lösung des Lehrers habe ich leider nicht zum Abgleich und ich kann es nicht wirklich nachvollziehen.

Kann jemand helfen?

Comments

Ich rechne seit gestern.

Das tönt anstrengend.

Wieso lässt Du Dir die Funktion nicht einfach plotten um zu sehen wie sie sich verhält?

Die Nachhilfe bekommt 7,5 heraus, aber die KI sagt mir 10 ist richtig.

Die Nachhilfe wird in der Lage sein, es zu begründen. Der Plapperbot ("KI") eben nicht. Der kann aber gar nicht rechnen. Sondern plappern. Daher der Name "ChatGPT" und nicht "Calculate GPT".

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Hier liegt der Plapperbot aber richtig. Die Nachhilfe nicht. Das würde mir zu denken geben.

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zu denken geben vor allem hinsichtlich nachhelfende Person....

Answer 1

Die Höhe einer Blume wird näherungsweise bestimmt durch
\(h(t)=\frac{10t+5}{t+1}\), wobei t in Wochen und h(t) in cm angegeben werden. Welche maximale Höhe erreicht die Blume?

\(h'(t)=\frac{10(t+1)-(10t+5)\cdot 1}{(t+1)^2}=\frac{5}{(t+1)^2}\) führt nicht zum Ziel, deshalb:

\( \lim\limits_{t\to\infty}\frac{10t+5}{t+1} \) Zähler und Nenner mit t kürzen:

\(\frac{\frac{10t}{t}+\frac{5}{t}}{\frac{t}{t}+\frac{1}{t}}\)

mit \(t→∞\)     \(\frac{10+0}{1+0}=10\)

Maximale Höhe ist 10cm.

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Ich glaube, wir hatten bisher keine Aufgaben, die nicht zum Ziel führten. Vermutlich liegt da das Problem :-) Das ist eine große Hilfe, danke!

Answer 2

\( \lim\limits_{t\to\infty} h(t)=10. \)

Wenn man in \( \frac{10t+5}{t+1} \) Zähler und Nenner durch t teilt, erhält man schließlich \( \frac{10+\frac5t}{1+\frac1t} \), was den Grenzwert 10 erklären dürfte.

Stelle dir die Frage, ob deine Nachhilfeperson ausreichend kompetent ist.

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Vielen Dank für die schnelle Antwort.

Ich kenne "lim t-∞" nicht, das haben wir im Unterricht leider noch nicht behandelt (10. Klasse). Gibt es einen anderen Weg auf die 10 bzw. Lösung zu kommen?

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Danke für die Ergänzung!!

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Gibt es einen anderen Weg auf die 10 bzw. Lösung zu kommen?

Nimm einen Taschenrechner und setze für t immer größere Werte ein.

t1 = 9
t2 = 99
t3 = 999
t4 = 9999
t10 = 9999999999

Was stellst du fest? Kannst du das irgendwie an dem Term begründen?

Mann könnte auch folgende Termumformung machen

$$\frac{10 \cdot t + 5}{t + 1} \newline = \frac{10 \cdot t + 10 - 5}{t + 1} \newline = \frac{10 \cdot t + 10}{t + 1} - \frac{5}{t + 1}\newline = \frac{10 \cdot (t + 1)}{t + 1} - \frac{5}{t + 1}\newline = 10 - \frac{5}{t + 1}$$

Jetzt kannst du, denke ich begründen, dass wenn t unendlich groß wird, dass der Termwert als Grenzwert 10 hat.

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Danke, das verstehe ich jetzt!!

Answer 3

h(t) = (10t+5)/(t+1)

h'(t):

Quotientenregel:

u = 10t+5, u'= 10

v= t+1, v'= 1

h'(t) = (10*(t+1) - (10t+5)*1)/(t+1)^2 =  (10t+10-10t-5)/(t+1)^2 = 5/(t+1)^2

h'(t) = 0

5 = 0 -> es gibt kein Maximum.

Fehler in der Angabe?

https://www.wolframalpha.com/input?i=plot+%2810t%2B5%29%2F%28t%2B1%29

aber:

Der lim h(t) für t -> oo = 10

mit t kürzen: (10+5/t)(1+1/t) = 10 für t -> oo

h(t) nähert sich der Geraden f(x) = 10 an ohne je den Wert y= 10 zu erreichen.

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Wow, danke für die ausführliche Antwort! Ich versuche es nachzurechnen.
Ein Fehler würde erklären, warum ich bei den anderen Aufgaben keine Schwierigkeiten hatte und sie lösen konnte.

Answer 4

Bereits die Aufgabe legt nahe, dass es hier nicht um Ableitungen geht, denn eine Blume schrumpft ja nicht wieder. Ein lokales Maximum ist also wenig sinnvoll. Man kann aber mit Hilfe der Ableitung zeigen, dass \(h(t)\) für \(t\geq 0\) streng monoton steigend ist und die Steigung immer weiter sinkt und sich der Null annähert. Das bedeutet, dass es eine obere Grenze für die Höhe gibt. Wie man diese mit dem Grenzwert berechnet, wurde in den anderen Antworten bereits erklärt.

Wenn ihr noch keine Grenzwertbetrachtungen durchgeführt habt bisher, habt ihr vielleicht schon gelernt, wie man bei gebrochenrationalen Funktionen die waagerechte Asymptote bestimmen kann. Diese ist hier nämlich gesucht bzw. liefert die gesuchte maximale Höhe.

Alternativ kann man das Verhalten auch untersuchen, indem man einfach große Werte für \(t\) einsetzt und eine Vermutung aufstellt, was der Grenzwert ist.

Allgemeiner Tipp: Es hilft immer, eine Skizze des Graphen anzulegen oder ihn sich zumindest mit digitalen Tools anzeigen zu lassen.

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Danke Apfelmännchen, das hat mir wirklich sehr geholfen!!