Warum im Dreieck bestimmen

Question

Text erkannt:

In der untenstehenden Abbildung seien gegeben:
- Das Dreieck \( \triangle A B C \).
- Der Punkt \( C \) liegt auf dem Halbkreis \( p \) um die Strecke \( c \).
- Der Punkt \( M \) ist der Inkreismittelpunkt des Inkreises \( e \).
- Der Punkt \( D \) ist der Berührpunkt des Kreises \( e \) mit der Seite \( a \).
- \( b=3, c=5, \sigma=36,87^{\circ} \).

Aufgabe:

Warum ist der Winkel ε = 36, 87 Grad?

Answer 1

Da der Punkt \(D\) Berührpunkt des Inkreises ist, haben wir bei \(D\) einen rechten Winkel (die Seite \(a\) ist Tangente am Inkreis). Damit sind die Geraden durch \(A\) und \(C\) bzw. \(D\) und \(M\) parallel. Nach dem Wechselwinkelsatz gilt dann \(\varepsilon=\sigma\).

https://de.wikipedia.org/wiki/Winkel#Wechselwinkel_oder_Z-Winkel

Answer 2

Weil AC parallel zu ED ist epsilon = delta.

Answer 3

Es ist zwar richtig das AC parallel zu ED ist. Dies wird aber in der Aufgabe zunächst nicht kommuniziert und sollte daher, wenn man es benutzt, erstmal bewiesen werden.

Wenn a eine Tangente an den Kreis durch den Berührpunkt D ist sind MD und CD senkrecht zueinander. D.h. die Winkel bei D sind alle 90 Grad groß.

Nach der Innenwinkelsumme ergänzen sich ε und γ ebenfalls zu 90 Grad sodass, γ = 90° - ε gilt.

Da C auf dem Thalenkreis der Strecke AB liegt, ist die Winkelsumme von σ und γ ebenfalls 90 Grad, sodass hier gilt: σ = 90° - γ = 90° - (90° - ε) = ε

Nach meiner Herleitung ergibt sich jetzt auch, dass AC und ED parallel zueinander sind.

Da die Dreiecke AH_CC und ABC ähnlich sind, ist der Winkel σ ebensogroß wie der Winkel β für den SIN(β) = 3/5 → β ≈ 36.8698976° gilt.

Eigentlich finde ich redundante Angaben in einer Aufgabe unschön. Vor allem wenn dann noch σ = 36.87° angegeben ist.

Wie wir also sehen ist der Winkel ε nicht exakt sondern nur näherungsweise 36.87° groß.