Etwas Intuition, die dir helfen könnte:
Wir vergessen mal, dass wir in der \(A_4\) (oder \(A_n\) im Allgemeinen) leben, und schauen uns mal lieber die \(S_4\) bzw. \(S_n\) an. Dort sind zwei Elemente genau dann konjugiert, wenn sie den gleichen Zykeltyp besitzen. Es sind also z.B. die beiden Elemente \((1\ 2)(3\ 4)\) und \((1\ 3)(2\ 4)\) konjugiert, oder auch in deinem Beispiel sind \((1\ 2\ 3)\) und \((1\ 3\ 2)\) konjugiert. Das zum Konjugieren nötige Element ist klar wenn du Dir deine Gleichung aus der Frage anschaust, du musst einfach nur die "Rolle" der Elemente in den jeweiligen Zykeln hin- und herpermutieren, z.B. im zweiten Beispiel würde \((2\ 3)\) den Job tun, da du die "Rolle" von \(2\) und \(3\) vertauschen (oder eher: hin- und her-tauschen) musst, um von der einen zur anderen Permutation zu kommen.
In der \(S_n\) ist die Situation also sehr einfach. Du bestimmst die Zykeltypen deiner Elemente, und wenn sie eine "gleich aussehende" Zykeldekomposition haben, kannst du an diesen bereits das (oder eher: ein) konjugierende Element quasi ablesen.
Jetzt zur \(A_n\). Die Situation ist jetzt nämlich so - mach dir das einmal klar - dass die Konjugation quasi genau so funktioniert wie in der \(S_n\) mit dem feinen Unterschied, dass du nur mit geraden Permutationen konjugieren darfst, da du vergessen hast, dass du in der \(S_n\) lebst und damit auch keine ungeraden Permutationen mehr hast. Innerhalb einer Konjugationsklasse von geraden Permutationen in der \(S_n\) musst du jetzt also fragen: Bin ich mit allen verwandten Elementen über gerade Permutationen verwandt oder bin ich mit der einen Hälfte über eine gerade und mit der anderen Hälfte über eine ungerade Permutation verwandt? Im ersten Fall bleibt deine Permutationsklasse erhalten, im zweiten Fall teilt sie sich in der \(A_n\) in zwei gleich große Konjugationsklassen auf. Denn wenn \(a\sim b\) über ungerade Permutation und \(a\sim c\) über ungerade Permutation, dann \(b\sim c\) über eine gerade Permutation, es geht also alles perfekt auf!
Mach dir das einmal unbedingt selbst klar. Eine Konjugationsklasse von geraden Permutationen in der \(S_n\) bleibt in der \(A_n\) entweder identisch erhalten oder zerfällt in zwei Hälften, einen anderen Fall gibt es nicht!
Deine beiden Beispiele: \((1\ 2)(3\ 4)\) und \((1\ 3)(2\ 4)\) sind in der \(S_4\) und auch in der \(A_4\) konjugiert, da es ein gerades konjugierendes Element gibt. Die Permutationen \((1\ 2\ 3)\) und \((1\ 3\ 2)\) sind zwar in der \(S_4\), nicht jedoch in der \(A_4\) konjugiert, weil es dafür eine ungerade Konjugation benötigt. Die Konjugationsklasse der \(3\)-Zykel in \(S_4\) ist also eine solche, die in zwei Hälften splittet.
Die Konjugationsklassen der \(A_n\) bestimmst du also folgendermaßen: Du bestimmst alle geraden Konjugationsklassen der \(S_n\) und bestimmst dann, welche der Klassen erhalten bleiben und welche in zwei Hälften gesplittet werden. Glücklicherweise kannst du das auch am Zykeltyp festmachen.
Siehe dafür dieses Kriterium: https://groupprops.subwiki.org/wiki/Splitting_criterion_for_conjugacy_classes_in_the_alternating_group
Sowie hier eine detaillierte "Hände-schmutzig-machen"-Diskussion: https://math.stackexchange.com/questions/404656/splitting-of-conjugacy-class-in-alternating-group
