Äquivalenzrelation mittels konjugierter Elemente definieren?

Question

Aufgabe:

$$ \begin{array}{l}{\text { Sei } G \text { eine Gruppe. Zwei Elemente } g, h \in G \text { heißen konjugiert, falls ein }} \\ {k \in G \text { mit } g=k h k^{-1} \text { existiert. }} \\ {\text { 1) Zeige, dass dadurch eine Äquivalenzrelation auf } G \text { definiert ist. }} \\ {\text { 2) Zeige, dass je zwei konjugierte Gruppenelemente diesselbe Ordnung haben. }}\end{array} $$

Problem/Ansatz:

Ich weiß, ehrlich gesagt, nicht was dieser Ausdruck bedeuten soll: g = khk^1. Soll zwischen dem khk^-1 einfach eine Multiplikation sein? Falls ja, würde k und k^-1 ja automatisch das neutrale Element e ergeben und dann würde quasi nur mehr "eh" dort stehen oder? Um die Äquivalenzrelation zu beweisen, muss ich ja Transitivität, Reflexivität und Symmetrie nachweisen; ich weiß aber nicht, wie ich das mithilfe der Konjugation zeigen soll. Kann mir wer weiterhelfen oder Ansätze liefern?

!

Answer 1

Soll zwischen dem khk^-1 einfach eine Multiplikation sein? Es soll die Verknüpfung der

Gruppenelemente ( nenne es ruhig * ) dort stehen. Allerdings muss es ja nicht

kommutativ sein.  Die Eigenschaften einer Äquivalenzrelation musst du nachweisen, etwa so:

reflexiv: Für jedes h∈G gilt  h ist konjugiert zu h, weil für das

neutrale Element e gilt   e*h*e^(-1) = h .

symmetrisch: wenn h konjugiert zu f, dann auch f konjugiert zu h.

Zeigst du so:   h konjugiert zu f

==>  Es gibt ein k∈G mit  k*h*k^(-1) = f

Mit k ist aber auch k^(-1) aus G und es gilt

  k*h*k^(-1) = f ==> (mult. mit k^(-1) von links

     h*k^(-1) = k^(-1) * f  ==> (mult. mit k von rechts )

            h = k^(-1) * f * k = k^(-1) * f * (k^(-1)) ^(-1)

Mit k ist aber auch k^(-1) aus G also ist auch f konjugiert zu h.

Versuche mal "transitiv" zu zeigen !

Comments

Vielen dank erstmal jetzt ist mir glaub ich einiges klarere geworden!!

Transitiv wär ich so angegangen:

Vorrausetzung: h=k*x*k^-1 und x=k*y*k^-1

zz: h=k*y*k^-1

ich hab mir gedacht ich setzt in h=k*x*k^-1 für x ein

dann hätt ich: h=k*k*y*k^(-1)*k^(-1)

jedoch weiß ich nicht wie ich jetzt weitermachen soll xD

Würde so ein Ansatz funktionieren?

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Würde so ein Ansatz funktionieren?

Fast, du musst allerdings bedenken, dass das k nicht in beiden

Gleichungen das gleiche ist, also etwa so:

Es gibt k und k' mit   h=k*x*k^(-1) und x=k'*y*k'^(-1) 

Das mit dem Einsetzen war ne gute Idee

h=k*k'*y*k'^(-1) *k^(-1)

Und weil k'^(-1) *k^(-1) das Inverse von k*k' ist

gilt  h=k*k'*y*(k*k)'^(-1)

und weil k*k' wegen der Abgeschlossenheit von G auch aus G ist,

gibt es also ein m=k*k' in G mit

          h = m * y *m^(-1) , also i8st

auch h konjugiert zu y.

Answer 2

Soll zwischen dem khk^-1 einfach eine Multiplikation sein? 

Ja, die Gruppenoperation wird hier als Multiplikation geschrieben.

Falls ja, würde k und k^-1 ja automatisch das neutrale Element e ergeben und da ...

Nein. In einer Gruppe gilt i.A. kein Kommutativgesetz. Man kann die Faktoren also nicht einfach vertauschen.

1)   R ⊂ GxG  sei die Relation  (g.h) ∈ R  ⇔  es gibt k∈G  mit g = k g k^-1

reflexiv:    (x,x) ∈ R     mit k = e

symmetrisch:    (x,y) ∈ R  → (y,x) ∈ R   ?

               ja,    denn    x =  k_x y k_x^-1  →  y = k_x^-1 x  k_x = k_y x  k_y^-1

transitiv:   (x,y) ∈ R und (y,z) ∈ R  →  (x.z) ∈ R

              ja, denn  x = k₁ y k₂^-1 = k₁ k₂ z k₂^-1 k₁^-1  = k₁ k₂  z (k₁ k₂) ^-1

                                                wegen (ab)^-1 = b^-1 a^-1  in jeder Gruppe

Gruß Wolfgang