Ebenengleichungen in Parameterform

Question

Augabe:

Gegeben ist die Ebene mit der folgenden Parametergleichung E: x= r (0/0/9) + s (0/-7/0)

a) Beschreiben Sie in Worten die Lage der Ebene E im Koordinatensystem.

b) Geben Sie die Gleichung zweier verschiedener Ebenen an, die zur Ebene E parallel sind.

c) Geben Sie eine Gleichung der Ebene E an, bei der der Stützvektor nicht der Nullvektor ist.

d) Geben Sie eine Parametergleichung der Ebene E an, bei der die Spannvektoren nicht Vielfache der Vektoren (0/0/1)  bzw. (0/1/0) sind.

e) Bestimmen Sie die Lage der Geraden g durch die Punkte A(2|-14|6) und B(2|35|-15) sowie der Geraden h durch die Punkte C (2l0|3) und D(-2|0| -3) zur Ebene E. Bestimmen Sie, wenn möglich, den bzw. die gemeinsamen Punkt(e) der Ebene E mit der Geraden g bzw. h.

f) Geben Sie eine Gerade k an, die in der Ebene E liegt.

Lösungen:

a) Die Ebene \( E \) ist die \( x_{2} x_{3} \)-Ebene.

b) Zum Beispiel:\( E_{1}: \vec{x}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 0\end{array}\right)+r \cdot\left(\begin{array}{l}0 \\ 0 \\ 9\end{array}\right)+s \cdot\left(\begin{array}{r}0 \\ -7 \\ 0\end{array}\right) ; \quad E_{2}: \vec{x}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right)+t \cdot\left(\begin{array}{l}0 \\ 0 \\ 9\end{array}\right)+s \cdot\left(\begin{array}{r}0 \\ -7 \\ 0\end{array}\right) \)

c) \( E: \vec{x}=\left(\begin{array}{l}0 \\ 1 \\ 2\end{array}\right)+r \cdot\left(\begin{array}{l}0 \\ 0 \\ 9\end{array}\right)+s \cdot\left(\begin{array}{r}0 \\ -7 \\ 0\end{array}\right) \)

d) \( E: \vec{x}=r \cdot\left(\begin{array}{l}0 \\ 1 \\ 1\end{array}\right)+s \cdot\left(\begin{array}{l}0 \\ 2 \\ 1\end{array}\right) \)

e) \( g: \vec{x}=\left(\begin{array}{r}2 \\ -14 \\ 6\end{array}\right)+t \cdot\left(\begin{array}{r}0 \\ 49 \\ -21\end{array}\right) ; h: \vec{x}=\left(\begin{array}{l}2 \\ 0 \\ 3\end{array}\right)+k \cdot\left(\begin{array}{r}-4 \\ 0 \\ -6\end{array}\right) \)

Berechnung der gemeinsamen Punkte von \( g \) und \( E \) :

Aus \( \left(\begin{array}{r}2 \\ -14 \\ 6\end{array}\right)+t \cdot\left(\begin{array}{r}0 \\ 49 \\ -21\end{array}\right)=r \cdot\left(\begin{array}{l}0 \\ 0 \\ 9\end{array}\right)+s \cdot\left(\begin{array}{r}0 \\ -7 \\ 0\end{array}\right) \) ergibt sich:(1) \( 2+t \cdot 0=r \cdot 0+s \cdot 0 \) bzw. \( 2=0 \). Das Gleichungssystem hat keine Lösung, also haben g und E kein gemeinsamen Punkte; \( g \) ist parallel zur Ebene E.

Berechnung der gemeinsamen Punkte von \( h \) und \( E \) :

Aus \( \left(\begin{array}{l}2 \\ 0 \\ 3\end{array}\right)+k \cdot\left(\begin{array}{r}-4 \\ 0 \\ -6\end{array}\right)=r \cdot\left(\begin{array}{l}0 \\ 0 \\ 9\end{array}\right)+s \cdot\left(\begin{array}{r}0 \\ -7 \\ 0\end{array}\right) \) ergibt sich ein lineares Gleichungssystem mit der Lösung: \( r=0, s=0 \) und \( k=0,5 \). Der gemeinsamer Punkt von \( h \) und \( E \) ist somit \( (0|0| 0) \).

f) Zum Beispiel:\( g^{\prime}: \vec{x}=t \cdot\left(\begin{array}{l} 0 \\ 0 \\ 9 \end{array}\right) \)

Problem/Ansatz:

Wie kommt man auf die Lösungen? Ich verstehe, wie man so eine Ebenengleichung aufstellt aber sobald da dann was mit parallel oder so steht, verstehe ich dies nicht. Kann wer mir den Ansatz erklären (außer a)?

Comments

Lösungen:

Text erkannt:

a) Die Ebene \( E \) ist die \( x_{2} x_{3} \)-Ebene.
b) Zum Beispiel:
\( E_{1}: \vec{x}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 0\end{array}\right)+r \cdot\left(\begin{array}{l}0 \\ 0 \\ 9\end{array}\right)+s \cdot\left(\begin{array}{r}0 \\ -7 \\ 0\end{array}\right) ; \quad E_{2}: \vec{x}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right)+t \cdot\left(\begin{array}{l}0 \\ 0 \\ 9\end{array}\right)+s \cdot\left(\begin{array}{r}0 \\ -7 \\ 0\end{array}\right) \)
c) \( E: \vec{x}=\left(\begin{array}{l}0 \\ 1 \\ 2\end{array}\right)+r \cdot\left(\begin{array}{l}0 \\ 0 \\ 9\end{array}\right)+s \cdot\left(\begin{array}{r}0 \\ -7 \\ 0\end{array}\right) \)
d) \( E: \vec{x}=r \cdot\left(\begin{array}{l}0 \\ 1 \\ 1\end{array}\right)+s \cdot\left(\begin{array}{l}0 \\ 2 \\ 1\end{array}\right) \)
e) \( g: \vec{x}=\left(\begin{array}{r}2 \\ -14 \\ 6\end{array}\right)+t \cdot\left(\begin{array}{r}0 \\ 49 \\ -21\end{array}\right) ; h: \vec{x}=\left(\begin{array}{l}2 \\ 0 \\ 3\end{array}\right)+k \cdot\left(\begin{array}{r}-4 \\ 0 \\ -6\end{array}\right) \)

Berechnung der gemeinsamen Punkte von \( g \) und \( E \) :
Aus \( \left(\begin{array}{r}2 \\ -14 \\ 6\end{array}\right)+t \cdot\left(\begin{array}{r}0 \\ 49 \\ -21\end{array}\right)=r \cdot\left(\begin{array}{l}0 \\ 0 \\ 9\end{array}\right)+s \cdot\left(\begin{array}{r}0 \\ -7 \\ 0\end{array}\right) \) ergibt sich:
(1) \( 2+t \cdot 0=r \cdot 0+s \cdot 0 \) bzw. \( 2=0 \).

Das Gleichungssystem hat keine Lösung, also haben g und E kein gemeinsamen Punkte; \( g \) ist parallel zur Ebene E.
Berechnung der gemeinsamen Punkte von \( h \) und \( E \) :
Aus \( \left(\begin{array}{l}2 \\ 0 \\ 3\end{array}\right)+k \cdot\left(\begin{array}{r}-4 \\ 0 \\ -6\end{array}\right)=r \cdot\left(\begin{array}{l}0 \\ 0 \\ 9\end{array}\right)+s \cdot\left(\begin{array}{r}0 \\ -7 \\ 0\end{array}\right) \) ergibt sich ein lineares Gleichungssystem mit der Lösung: \( r=0, s=0 \) und \( k=0,5 \). Der gemeinsamer Punkt von \( h \) und \( E \) ist somit \( (0|0| 0) \).
f) Zum Beispiel:
\( g^{\prime}: \vec{x}=t \cdot\left(\begin{array}{l} 0 \\ 0 \\ 9 \end{array}\right) \)

Answer 1

Verwende ein Geometrieprogramm, um dir das besser Vorstellen zu können.

https://www.matheretter.de/geoservant/de?draw=punkt(0%7C0%7C0%20%22O%22)%0Apunkt(0%7C0%7C9%20%22A%22)%0Apunkt(0%7C-7%7C0%20%22B%22)%0Aebene(0%7C0%7C0%200%7C0%7C1%200%7C1%7C0)

a) Beschreiben Sie in Worten die Lage der Ebene E im Koordinatensystem.

Die Ebene enthält die Punkte (0 | 0 | 0), (0 | 0 | 9) und (0 | -7 | 0) aufgespannt.

Die Ebene enthält den Koordinatenursprung. Die Richtungsvektoren OA und OB sind parallel zur y und z-Achse.

Damit ist E die yz-Ebene des Koordinatensystems.

b) Geben Sie die Gleichung zweier verschiedener Ebenen an, die zur Ebene E parallel sind.

Um Parallele Ebenen zu erhalten brauchen wir als Stützvektor nur Punkte nehmen die nicht auf der Ebene liegen

E2: X = [1, 0, 0] + r·[0, 1, 0] + s·[0, 0, 1]
E3: X = [2, 0, 0] + r·[0, 1, 0] + s·[0, 0, 1]

c) Geben Sie eine Gleichung der Ebene E an, bei der der Stützvektor nicht der Nullvektor ist.

Nimm einfach A oder B als Stützvektor. Stützvektor kann jeder Ortsvektor zu einem beliebigen Punkt der Ebene sein.

d) Geben Sie eine Parametergleichung der Ebene E an, bei der die Spannvektoren nicht Vielfache der Vektoren (0/0/1)  bzw. (0/1/0) sind.

Bilde die beiden Spannvektoren aus Linearkombinationen aus den genannten Vektoren, die linear unabhängig sind.

E: X = [0, 0, 0] + r·[0, 2, 1] + s·[0, 1, 2]

e) Bestimmen Sie die Lage der Geraden g durch die Punkte A(2|-14|6) und B(2|35|-15) sowie der Geraden h durch die Punkte C (2l0|3) und D(-2|0| -3) zur Ebene E. Bestimmen Sie, wenn möglich, den bzw. die gemeinsamen Punkt(e) der Ebene E mit der Geraden g bzw. h.

Lagebeziehung Gerade-Ebene.

E: x = 0

g1 liegt parallel zu E, da die x-Koordinate aller Punkte von g1 2 ist.

g2: Die Punkte C und D liegen spiegelsymmetrisch zum Ursprung und bilden eine Gerade, die durch den Ursprung geht. Damit schneidet g2 die Ebene E im Ursprung. Kein anderer Punkt auf g2 hat die x-Koordinate 0.

f) Geben Sie eine Gerade k an, die in der Ebene E liegt.

Gib eine Gerade an, die durch 2 der Punkte O, A und B geht.

Comments

Um Parallele Ebenen zu erhalten brauchen wir als Stützvektor nur Punkte nehmen die nicht auf der Ebene liegen

Wieso kopierst du nicht die originale Ebene also r (0/0/9) + s (0/-7/0) und änderst dann den SV?

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Hätte ich auch machen können. Dir sollte klar sein, dass Richtungsvektoren immer mit einem Faktor ungleich 0 multipliziert werden können.

Aber du kannst sie natürlich auch so lassen wie sie waren.

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Dir sollte klar sein, dass Richtungsvektoren immer mit einem Faktor ungleich 0 multipliziert werden können.

Die Dinger heißen nicht ganz zu Unrecht "Spannvektoren" und können außerdem mit beliebigen Skalaren – also auch mit 0 – multipliziert werden, es kommt halt darauf an, was man bekommen will.

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Kannst du mir noch D erklären? Verstehe die Aufgabenstellung nicht

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Wieso

Gib eine Gerade an, die durch 2 der Punkte O, A und B geht.

und nicht CD? Weil bei e) rauskam, dass g und E keine Lösung haben, g parallel zur Ebene E ist während bei h ein Punkt tauskam

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d) Geben Sie eine Parametergleichung der Ebene E an, bei der die Spannvektoren nicht Vielfache der Vektoren (0/0/1)  bzw. (0/1/0) sind.

Die Ebene E ist identisch mit der y-z-Ebene. In d) sind nun solche Spannvektoren gesucht, die nicht schon auf der y- oder der Z-Achse liegen.

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f) Geben Sie eine Gerade k an, die in der Ebene E liegt.

Das Bedeutet, dass alle Punkte der Geraden auch in der Ebene liegen sollen. Damit kannst du einfach 2 Punkte der Ebene nehmen und durch diese beiden Punkte eine Gerade aufstellen. Du kennst aber bereits 3 Punkte der Ebene sicher. Also kannst du zum Aufstellen auch diese 3 Punkte benutzen.