Riemann - Intervall beweisen - Obersumme etc.

Question

Seien $a>1$ und $Z_{n}=\left\{1=a^{0}, a^{1 / n}, a^{2 / n}, \ldots, a^{n / n}=a\right\}$ eine Zerlegung des Intervalls $[1, a]$

(a) Zeigen Sie, dass $\left|I_{j}^{n}\right| \rightarrow 0(n \rightarrow \infty)$ für jedes durch $Z_{n}$ induzierte Teilintervall $I_{j}^{n}=\left[a^{(j-1) / n}, a^{j / n}\right]$ und $j=1, \ldots, n$.

(b) Bestimmen Sie das Integral $\int \limits_{1}^{a} 1 / x d x$ mit Hilfe der Obersummen zu $Z_{n}$.

Hinweis: Zu (b): $n\left(a^{1 / n}-1\right) \rightarrow \ln a(n \rightarrow \infty)$

Comments

Ich habe mal veruscht dir das ganze aufzumalen: Das blaue ist deine Funktion von der du das Fläche wissen möchtest. Dazu teilst du das Integral in "rechtecke" auf wobei die höhe des Rechtecks jeweils das Maximum der Funktion innerhalb des Rechtecks ist.

 

Geht nun dein Integral von 1 bis a und du teilst deine Funktion in n Rechtecke auf, hat jedes Rechteck die Breite (a-1)/n. geht Nun n gegen unendlich (du machst also immer mehr Rechtecke) wird die Breite der Rechtecke immer kleiner und geht schließlich gegen Null.

Hilft dir das weiter?

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Danke für die Erklärung. Aber so ganz hilft mir das noch nicht. Warum geht dein Beispiel gegen 0?

Wenn n gegen unendlich geht, setzt man dann nicht eine x-beliebige Zahl für n ein?
Ist das gegen 0, weil das "Ergebnis" <1 wäre?