Für welche reellen Zahlen x sind die folgenden Funktionenen stetit und für welche nicht?

Question

Für welchen reellen Zahlen x sind die folgenden Funktionen stetig und für welche nicht? Betrachten Sie geeignete Folgen un Unstetigkeit in einzelnen Punkten zu zeigen.

 

1.)      f(x)= arccos für x∈[-1,1]

2.)      f(x)= 1           ,falls < 0

                    x²-1     , falls x≥0

 

3.)      f(x)= (x+1)/(x-1) , falls x≠1            (für x∈ℝ)

                   0                 , falls x=1

                 

Answer 1

  als stetig gilt eine Funktion wenn sie ohne abzusetzen in einem Zug
gezeichnet werden kann ( einfache Definition ).
  Wird die Stetigkeit für eine bestimmte Stelle nachgewiesen muß
der linksseitige Grenzwert = Funktionswert = rechtsseitigem Grenzwert sein.

1.)      f(x)= arccos für x∈[-1,1]

  Die Beantwortung ist ein wenig schwierig. Die cos-Funktion
schlängelt ( ozziliert ) um -1..+1 um die x-Achse. Sie ist stetig.
Die acrcos-Funktion schlängelt ( ozziliert ) um -1..+1 um die y-Achse.
Sie müßte auch als stetig gelten können.

2.)      f(x)= 1  falls x < 0
           x²-1     , falls x≥0

  Linksseitiger Grenzwert
  lim x -> 0(-) = 1
  Funktionswert x = 0 : -1
  Der linksseitige Grenzwert stimmt mit dem Funktionswert nicht überein.
Die Funktion ist an der Stelle x = 0 nicht stetig. 

3.)      f ( x ) = (x+1)/(x-1) , falls x≠1            (für x∈ℝ)                  
           0                 , falls x=1

  linksseitiger Grenzwert lim x -> 1(-) [ ( x + 1 ) / ( x - 1 ) ] = 2 / 0(-) = - ∞
  Grenzwert x = 1 -> 0
  Der linksseitige Grenzwert stimmt mit dem Funktionswert nicht überein.
Die Funktion ist an der Stelle x = 1 nicht stetig.

  Bei Fehlern oder Fragen wieder melden.

  mfg Georg