Matrix aufstellen um Bild zu bestimmen

Question

Aufgabe: f:ℝ⁴→ℝ³, (x,y,z,w)→(2x−y−w,3z,y+w−2x)

Frage: Ich möchte das Bild (eines Quadrupels aus ℝ⁴) bestimmen. Vorher habe ich berechnet, dass die Abbildung linear ist. Könnte ich das Bild bestimmen in dem ich nun eine Matrix aufstelle?

Answer 1

Ja, Du kannst direkt die Abbildungsmatrix (oder auch Darstellungsmatrix) ablesen.

Dann geht es aber noch weiter. Tip: das Bild ist die Lineare Hülle der Spaltenvektoren (auf Lineare Unabhängigkeit prüfen).

Korrigiert: Nicht der Zeilenvektoren, danke Mathhilf.

Comments

Das Bild ist nicht die lineare Hülle der Zeilenvektoren.

Answer 2

Aloha :)

$$f(x;y;z;w)=\begin{pmatrix}2x-y-w\\3z\\y+w-2x\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2x-y-w\\3z\\-(2x-y-w)\end{pmatrix}$$$$\phantom{f(x;y;z;w)}=(2x-y-w)\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}+3z\cdot\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}$$

Das Bild der Abbildung ist der Vektorraum, der durch die beiden Richtungsvektoren aufgesapnnt wird.