Grenzwert einer Folge mit exp(p) bestimmen

Question

Aufgabe:

a) Bestimmen Sie, falls möglich, den Grenzwert n -> unendlich der Folge

\( a_{n}=2+ \sum \limits_{i=2}^{n}(exp(p))^{i-1}  , n\in \mathbb{N}, p\in \mathbb{R} \) fest.

Für welchen Wert von p hat die Folge den Grenzwert 3?

Problem: Ich bin mir unsicher bei meiner Lösung, da wir Aufgaben mit Indexverschiebung in den Vorlesungen nicht besprochen haben. Für eine Erklärung wäre ich sehr dankbar :)

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Das sieht mir nach einer geometrischen Reihe aus. Da \(p\in\mathbb R\) fest gewählt wird, definieren wir \(q\coloneqq e^p\) ale eine Konstante und erhalten:$$a_n=2+\sum\limits_{i=2}^n\left(e^p\right)^{i-1}=\green2+\sum\limits_{i=2}^n q^{i-1}=\green{1+1}+\sum\limits_{i=2\pink{-1}}^{n\pink{-1}}q^{(i\pink{+1})-1}$$$$\phantom{a_n}=1+\blue{q^0}+\sum\limits_{q=1}^{n-1}q^i=1+\sum\limits_{q=\blue0}^{n-1}q^i=1+\frac{1-q^n}{1-q}$$

Die geometrische Reihe konvergiert für \(|q|<1\). Wegen \(q=e^p\) konvergiert \((a_n)\) also nur für negative \(p\) und der Grenzwert beträgt dann:$$\lim\limits_{n\to\infty}a_n=1+\frac{1}{1-q}=1+\frac{1}{1-e^p}\quad\text{für }p<0$$

Der Grenzwert ist gleich \(3\) für \(e^p=\frac12=2^{-1}=e^{-\ln(2)}\), also für \(p=-\ln(2)\).

Comments

Vielen Dank :), das habe ich auch so rausbekommen

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Vielen Dank :), das habe ich auch so rausbekommen

Warum lieferst du deine Lösung dann nicht mit?

Answer 2

Betrachte nur die Summe \( \sum_{i=2}^n{exp(p)^{i-1}}\). Für jedes \( i \) wird im Exponenten einfach nur eins abgezogen. Man kann sich jetzt einen Neuen Index mit \( j=i-1 \) definieren. Setze jetzt den kleinsten möglichen und den größten möglichen Wert für \( i \) in die Formel für \( j \) ein, also 2 und \( n \).

Die Summe lautet jetzt \( \sum_{j=1}^{n-1}{exp(p)^{j}}\). Setzte die Summe wieder in die Folge ein: \( a_n = 2 + \sum_{j=1}^{n-1}{exp(p)^{j}}\).

Die 2 hat offensichtlich Grenzwert 2 für alle möglichen \( n \), also suchen wir hier die \( p \), für die der Grenzwert von \( \sum_{j=1}^{n-1}{exp(p)^{j}} \) gleich 1 ist.

\( \sum_{j=1}^{n-1}{exp(p)^{j}} \) sind die Partialsummen der Geometrischen Reihe und es gilt, dass die Folge \( \lim_{n \to \infty} \sum_{j=1}^{n-1}{exp(p)^{j}} = \sum_{j=1}^{\infty}{exp(p)^{j}}\) konvergiert mit \( \frac{q}{1-q}\) wenn \( |q| < 1 \), \( q \) ist hier gleich \( exp (p) \), und sonst divergiert. Der Grenzwert existiert also nur, wenn \( exp(p)<1 \).

Wir bekommen also \( \lim_{n\to \infty} a_n = 2 +  \frac{exp(p)}{1- exp(p)} \) und suchen \( \frac{exp(p)}{1- exp(p)}= 1 \Leftrightarrow exp(p)=1-exp(p) \Leftrightarrow 2 \cdot exp(p) = 1 \Leftrightarrow exp(p) = \frac{1}{2}\) um zu bestimmen, wann der Grenzwert gleich 3 ist.

Das ist genau für \( p = \ln (\frac{1}{2}) = -\ln(2) \) gegeben.

Comments

Damn hab so lange mit dem LaTeX hier gekämpft das ich die andere Antwort von vor 50 Minuten nicht gesehen habe haha

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Ich empfehle \exp zu verwenden, das liefert dann \(\exp(...)\) und sieht wesentlich besser aus. Es erhöht zudem die Lesbarkeit. :)

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Oh je, habe mir das wohl aus Versehen abgewöhnt dieses Semester, ist mir garnicht aufgefallen, danke

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War auch keine negative Kritik, sondern lediglich ein Tipp. Gilt auch für \sin, \cos usw. :)

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Hab das auch garnicht als negativ aufgefasst, bin nur ein bisschen bild dafür geworden nachdem ich das ein halbes Jahr absichtlich anders schreiben musste, bin auch dankbar für den Hinweis, möchte mir das ja wieder angewöhnen :)