Aufgabe: Wie prüft man genau auf Homogänität und Additivität bei so einer Gleichung wie M2 oder anderen Fällen.
Problem/Ansatz:
Ich weiß nur die Ergebnisse müssen wieder in der Menge selbst liegen. 
Text erkannt:
22:24
Vop \( R \)
37\%
Aufgabe 3 (10 Punkte):
Gegeben seien die folgenden Mengen:
\( \begin{array}{l} M_{1}=\left\{\left.\left(\begin{array}{l} x \\ y \\ z \end{array}\right) \in \mathbb{R}^{3} \right\rvert\, z=1\right\} \\ M_{2}=\left\{\left.\left(\begin{array}{l} x \\ y \\ z \end{array}\right) \in \mathbb{R}^{3} \right\rvert\, 2 x+z=0\right\} \\ M_{3}=\left\{\left.\binom{x}{y} \in \mathbb{R}^{2}| | x|\leq 1 \wedge| y \right\rvert\, \leq 1\right\} \\ M_{4}=\left\{\left.\binom{x}{y} \in \mathbb{R}^{2} \right\rvert\, 2 x=y\right\} \end{array} \)
a) Begründen Sie, ob die Mengen \( M_{1} \) und \( M_{2} \) lineare Unterräume des \( \mathbb{R}^{3} \) sind.
b) Skizzieren Sie die Menge \( M_{3} \) und begründen Sie, ob es sich um eine konvexe Menge handelt.
c) Begründen Sie, ob die Menge \( M_{4} \) eine transitive Relation darstellt.
Lösung:
a) \( M_{1} \) ist weder bzgl. Addition noch skalarer Multiplikation abgeschlossen und damit kein linearer Unterraum des \( \mathbb{R}^{3} \).
\( M_{2} \) ist bzgl. Addition und skalarer Multiplikation abgeschlossen und damit ein linearer Unterraum des \( \mathbb{R}^{3} \).
b) \( M_{3} \) ist konvex.
c) \( M_{4} \) ist keine transitive Relation.
Text erkannt:
22:24
Vop \( R \)
37\%
Aufgabe 3 (10 Punkte):
Gegeben seien die folgenden Mengen:
\( \begin{array}{l} M_{1}=\left\{\left.\left(\begin{array}{l} x \\ y \\ z \end{array}\right) \in \mathbb{R}^{3} \right\rvert\, z=1\right\} \\ M_{2}=\left\{\left.\left(\begin{array}{l} x \\ y \\ z \end{array}\right) \in \mathbb{R}^{3} \right\rvert\, 2 x+z=0\right\} \\ M_{3}=\left\{\left.\binom{x}{y} \in \mathbb{R}^{2}| | x|\leq 1 \wedge| y \right\rvert\, \leq 1\right\} \\ M_{4}=\left\{\left.\binom{x}{y} \in \mathbb{R}^{2} \right\rvert\, 2 x=y\right\} \end{array} \)
a) Begründen Sie, ob die Mengen \( M_{1} \) und \( M_{2} \) lineare Unterräume des \( \mathbb{R}^{3} \) sind.
b) Skizzieren Sie die Menge \( M_{3} \) und begründen Sie, ob es sich um eine konvexe Menge handelt.
c) Begründen Sie, ob die Menge \( M_{4} \) eine transitive Relation darstellt.
Lösung:
a) \( M_{1} \) ist weder bzgl. Addition noch skalarer Multiplikation abgeschlossen und damit kein linearer Unterraum des \( \mathbb{R}^{3} \).
\( M_{2} \) ist bzgl. Addition und skalarer Multiplikation abgeschlossen und damit ein linearer Unterraum des \( \mathbb{R}^{3} \).
b) \( M_{3} \) ist konvex.
c) \( M_{4} \) ist keine transitive Relation.
Text erkannt:
22:52
\( M_{3}=\{(x, y)|x, y \in \mathbb{R}, y \leq|x|\} \longrightarrow \)
r drei Punktmengen und untersuchen Sie sie auf K
enden Mengen bzgl. der Addition und bzgl. der hlossen sind und ob es sich um reelle Vektorräu
dohbrer
abgeshloosen
\( \begin{array}{l} M_{1}=\{0\} \\ M_{2}=\left\{\left(\begin{array}{l} 1 \\ 4 \\ 2 \end{array}\right),\left(\begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right),\left(\begin{array}{l} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right)\right\} \\ M_{3}=\left\{\left(\begin{array}{l} -1 \\ -1 \\ -1 \end{array}\right),\left(\begin{array}{l} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right),\left(\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right)\right\} \\ M_{4}=\left\{\left.\left(\begin{array}{l} x \\ y \\ 0 \end{array}\right) \right\rvert\, x, y \in \mathbb{R}, x \geq y\right\} \\ M_{5}=\left\{\left.\left(\begin{array}{l} x \\ 0 \\ y \end{array}\right) \right\rvert\, x, y \in \mathbb{R}, x \cdot y=0\right\} \\ \left.\left.M_{6}=\left\{\left(\begin{array}{c} 1 \\ -2 \\ 0 \end{array}\right), \text {, (1) (l) } \begin{array}{l} 0 \\ 1 \\ 2 \end{array}\right) \right\rvert\, \lambda \in \mathbb{R}\right\} \end{array} \)
- e) sind als wahr oder falsch zu beurteilen?
können symmetrisch sein.
i Matrizen \( \mathbf{A}, \mathbf{B} \in \mathbb{R}_{2}^{2 \times n} \) von Bann gilt \( (\mathbf{A} \cdot \mathbf{B})^{T}=\mathbf{A} \) nge einer Menge linear abhängiger Vektoren ist lir bezeichnet man die Multiplikation eines Skalars \( \mathbf{b} \in \mathbb{R}^{n} \) heißen orthonormal, wenn \( \mathbf{b}^{T} \cdot \mathbf{a}=0 \) und
