Beweisen Sie: Sind M1, M2, M3, und M4 die Mittelpunkte der Seiten eines Parallelogramms ABCD

Question

Aufgabe:

Beweisen Sie:
Sind M1, M2, M3, und M4 die Mittelpunkte der Seiten eines Parallelogramms ABCD, dann ist auch das Viereck M1M2M3M4 ein Parallelogramm.

Problem/Ansatz:

Hey, wie gehe ich hier vor? Ich habe Vektor M1M2= 0,5 Vektor a + 0,5 Vektor b formuliert. Aber nun komme ich nicht weiter und ich möchte die Aufgabe gerne verstehen. Viele Dank für die Hilfe :)

Answer 1

Frag Dich, was ein Parallelogramm auszeichnet. Mir scheint zwar, Du hast den Vektor M₁M₂ 

falsch definiert, aber unabhängig davon, was wäre dann mit dem Vektor M₄M₃?

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Hat sich erledigt...

Answer 2

Nach dem Strahlensatz bzw. nach seiner Umkehrung sind sowohl M1M1 als auch M3M4 parallel zu AC und halb so lang wie AC.

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Tippfehler:  M1M1    ##########################

Answer 3

Zeichne die Diagonalen eines beliebigen Vierecks und das Viereck der Seitenmitten. Dann siehst du, dass in jedem Viereck die Seitenmitten Eckpunkte eines Parallelogramms sind - also auch, wenn das Viereck ABCD ein Parallelogramm ist.

Beachte abakus' Hinweis.

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Schön, wenn man das sieht. Ein Beweis ist das aber nicht und hilfreich für die Lösung der Aufgabe damit auch nicht. Denn wozu soll man ein allgemeines Viereck zeichnen, wenn man das nur beim Parallelogramm zeigen soll? Die Zeichnung hat der FS bereits gemacht, insofern ist völlig unklar, was ihm diese Antwort nun bringen soll.

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Apfelmännchen, das Problem, das du mit mir hast, ist wohl immer noch nicht im Papierkorb?

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Ich kritisiere nicht dich als Person, sondern die Antwort. Ich hätte denselben Kommentar geschrieben, wenn die Antwort von Gauß persönlich gewesen wäre. Ich verstehe nicht, wieso man sich gleich immer persönlich angegriffen fühlt, obwohl der Kommentar rein sachlich ist und sich nur auf die Antwort bezieht und nicht auf den Autor der Antwort.

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Verstehe ich auch nicht, passiert ja öfter mal hier. Man will über eine Antwort reden, aber der Antworter weicht aus und möchte lieber über sich selbst reden. Passt aber dazu, dass es manchem hier gar nicht um die Sache, sondern um die eigene Person geht. Schade.

Answer 4

Hier mittels Vektorgeometrie.

Ich betrachte dabei den Ursprung bei A.

$$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{a} \newline \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{b} \newline \overrightarrow{M_1} = \overrightarrow{AM_1} = \frac{1}{2} \cdot \overrightarrow{b} \newline \overrightarrow{M_2} = \frac{1}{2} \cdot \overrightarrow{a} \newline \overrightarrow{M_3} = \overrightarrow{a} + \frac{1}{2} \cdot \overrightarrow{b} \newline \overrightarrow{M_4} = \frac{1}{2} \cdot \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} \newline \overrightarrow{M_1M_4} = \overrightarrow{M_4} - \overrightarrow{M_1} = (\frac{1}{2} \cdot \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}) - (\frac{1}{2} \cdot \overrightarrow{b}) = \frac{1}{2} \cdot \overrightarrow{a} + \frac{1}{2} \cdot \overrightarrow{b}\newline \overrightarrow{M_2M_3} = (\overrightarrow{a} + \frac{1}{2} \cdot \overrightarrow{b}) - (\frac{1}{2} \cdot \overrightarrow{a}) = \frac{1}{2} \cdot \overrightarrow{a} + \frac{1}{2} \cdot \overrightarrow{b}\newline \overrightarrow{M_1M_2} = \frac{1}{2} \cdot \overrightarrow{a} - \frac{1}{2} \cdot \overrightarrow{b} \newline \overrightarrow{M_4M_3} = (\overrightarrow{a} + \frac{1}{2} \cdot \overrightarrow{b}) - (\frac{1}{2} \cdot \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}) = \frac{1}{2} \cdot \overrightarrow{a} - \frac{1}{2} \cdot \overrightarrow{b} $$

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Ich kann die Rechenschritte nachvollziehen. Ich verstehe nur nicht, warum Sie die Vektoren dann immer subtrahieren. Bei Vektor M1M4 fehlt mir beispielsweise ziemlich der Kontext, warum subtrahieren? Ich bin die “Rechenschritte” (also die Pfeile) selbst auf der Zeichnung entlang gegangen und kann es noch nicht ganz nachvollziehen…

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Wenn du von m1 nach m4 willst, dann gehst du über D.

Also von m1 den Vektor 1/2·b nach D und von dort 1/2·a nach m4.

Von m1 nach m4 ist also 1/2·b + 1/2·a = 1/2·a + 1/2·b.

Man schreibt also m1m4 = 1/2·a + 1/2·b

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Vielen vielen Dank, ich habe es endlich verstanden! :) Ich freue mich sehr, nun kann ich die restlichen Aufgaben bearbeiten!

Answer 5

Mittels der Formel

\(M_{AB}(\frac{a_1+b_1}{2}|\frac{a_2+b_2}{2}|\frac{a_3+b_3}{2}),\quad A(a_1|a_2|a_3),\ B(b_1|b_2|b_3)\)

lässt sich der Mittelpunkt der Strecke \(\overline{AB}\) direkt berechnen.

Zusätzliche Übung: Beweise diese Behauptung mit Hilfe der Vektorgeometrie.

Damit kannst du direkt die Mittelpunkte berechnen und die entsprechenden Vektoren auf Parallelität überprüfen.