Geschlossene Form Ansatz

Question

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Sei \( f:\left(-\frac{1}{4}, \frac{1}{4}\right) \rightarrow \mathbb{R}: x \mapsto \sum \limits_{k=0}^{\infty}(k+1) 2^{2 k+1} x^{k} \) gegeben.
(a) Geben Sie eine Reihendarstellung der Stammfunktion \( F \) von \( f \) mit \( F(0)=0 \) an.
\( F(x)=\sum \limits_{n=1}^{\infty} 2^{2 n-1} x^{n} \)
(b) Stellen Sie \( F(x) \) und \( f(x) \) jeweils in geschlossener Form dar.
\( F(x)=\frac{2 x}{1-4 x}, \quad f(x)=\frac{2}{(1-4 x)^{2}} \)

Das Grundprinzip einer geschlossenen Form kenne ich, nur weiß ich leider nicht wie man hier vorgeht…

Könnte mir jemand einen Ansatz geben?

Comments

Die geschlossene Form für F ergibt sich durch Vergleich mit der Fornel für die geometrische Reihe. Durch Differentiation von F erhält man f.

Answer 1

Also wenn Du a) gelöst hast, erkennst Du, das F(x) eine geometrische Reihe ist (die 2 und x zusammenführen, Potenzregel!).

Dann kannst Du f(x) einfach durch Ableiten gewinnen.

Answer 2

Aloha :)

Für die geschlossene Darstellung von \(F(x)\) erinnere dich an die Summenformel für die geometrische Reihe:$$\sum\limits_{n=0}^\infty q^n=\frac{1}{1-q}\quad\text{für }|q|<1$$

Nun bringe die Summe für \(F(x)\) auf die Form dieser Reihe:$$F(x)=\sum\limits_{n=1}^\infty2^{2n-1}x^n=\sum\limits_{n=1\pink{-1}}^\infty2^{2(n\pink{+1})-1}x^{(n\pink{+1})}=\sum\limits_{n=0}^\infty2^{2n\blue{+1}}x^{n\blue{+1}}=\blue{2x}\sum\limits_{n=0}^\infty2^{2n}x^n$$$$\phantom{F(x)}=2x\sum\limits_{n=0}^\infty(2^2)^nx^n=2x\sum\limits_{n=0}^\infty(4x)^n\stackrel{|4x|<1}{=}2x\cdot\frac{1}{1-4x}=\frac{2x}{1-4x}$$Da laut Definitionsbereich \(|x|<\frac14\) gilt, konvergiert die Summe für alle \(x\) aus dem Definitionsbereich.

Die Ableitung von \(F(x)\) kriegst du nun bestimmt alleine hin ;)

Comments

Danke, das ist hilfreich. Auf die Reihendarstellung in a komme ich durch Integration?

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Die Reihendarstellung ist die geometrische Reihe. Die sollte im Unterricht behandelt worden sein. Du kannst dir die Summenformel aber auch schnell selbst überlegen. Dazu betrachte zunächst die endliche Summe:$$S_N\coloneqq\sum\limits_{n=0}^N q^n$$Multipliziere diese mit \(q\) und subtrahiere das Ergebnis von der ursprünglichen Summe:$$S_N-q\cdot S_N=\sum\limits_{n=0}^Nq^n-q\cdot\sum\limits_{n=0}^Nq^n=\sum\limits_{n=0}^Nq^n-\sum\limits_{n=0}^Nq^{n+1}$$$$\phantom{S_N-q\cdot S_N}=\sum\limits_{n=0}^Nq^n-\sum\limits_{n=0\pink{+1}}^{N\pink{+1}}q^{(n\pink{-1})+1}=\sum\limits_{n=0}^Nq^n-\sum\limits_{n=1}^{N+1}q^n$$$$\phantom{S_N-q\cdot S_N}=\left(\green{q^0}+\sum\limits_{n=\green1}^Nq^n\right)-\left(\sum\limits_{n=1}^{\blue N}q^n+q^{\blue{N+1}}\right)$$$$\phantom{S_N-q\cdot S_N}=\green{q^0}-q^{\blue{N+1}}=1-q^{N+1}$$Jetzt klammer auf der linken Seite \(S_N\) aus:$$(1-q)\cdot S_N=1-q^{N+1}\quad\bigg|\div(1-q)$$$$S_N=\frac{1-q^{N+1}}{1-q}$$Wenn \(|q|<1\) ist, konvergiert \(q^{N+1}\) für \(N\to\infty\) gegen Null. Also gilt:$$\sum\limits_{n=0}^\infty q^n=\frac{1}{1-q}\quad\text{für }|q|<1$$