Integral | cos(x) rausziehen?

Question

Moin!

Ich soll das folgende Integral lösen (siehe Bild)

Besteht auch die Möglichkeit anstatt cos(x) in 1-sin(x)^2 umzuwandeln, das cos(x) vor das Integral zu ziehen, sodass ich im Integral nur noch 1/u^11 *dt stehen habe?
Ich habe den Schritt mal grün umkreist :)

Text erkannt:

\( \begin{array}{l} \frac{\cos (x)^{3}}{\sin (x)^{11}}=\frac{\left(\cos (x)^{3}\right)}{u^{11}} \cdot \frac{d u}{\cos (x)}= \\ =\frac{\cos (x)^{2}}{u^{11}} \cdot d u=\frac{1-\sin ^{2}(x)}{u^{11}}= \\ \begin{array}{l} \left\{\begin{array}{l} u=\sin (x) \\ u=\cos (x) \end{array}\right\} d(x)=\frac{d u}{\cos (x)} \\ \left\{: \cos ^{2}(x)+\sin ^{2}(x)=1\right. \\ \cos ^{2}(x)=1-\sin (x) \end{array} \\ =\frac{1-u^{2}}{u^{11}}=\int \frac{1}{u^{11}}-\frac{u^{2}}{u^{4}}=\int u^{-1(+1)} u^{-9(t 1)} \\ =\frac{1}{-10} u^{-10}-\frac{1}{-8} u^{-8}=\frac{1}{-10 \cdot u^{10}}-\frac{1}{-8 \cdot u^{8}}=\frac{1}{-10} \frac{1}{u^{0}}+\frac{1}{8} \cdot \frac{1}{u^{8}} \Rightarrow \text { Ruck } \\ \frac{1}{-10} \cdot \frac{1}{\sin (x)^{10}}+\frac{1}{8} \cdot \frac{1}{\sin (x)^{8}}=\frac{1}{-10} \cdot \sin (x)^{-10}+\frac{1}{8} \cdot \sin (x)+C \end{array} \)
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Comments

Da tun einem ja die Augen weh… Schreib mal sauber die eigentliche Aufgabe hin, die es zu lösen gilt und mach auch bei Potenzen klar, was potenziert wird, z.B. x oder der cosinus.

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Ich sehe kein Integral, das man ausrechnen soll, sondern nur eine angefangene Rechnung.

Answer 1

Besteht auch die Möglichkeit anstatt cos(x) in 1-sin(x)² umzuwandeln,

Nein. cos(x) ist nicht 1-sin²(x) sondern \( \sqrt{1-sin²(x)} \) bzw. \(- \sqrt{1-sin²(x)} \).

Dein Anliegen klingt außerdem so, als wolltest du einen konstanten Faktor vor das Integral ziehen.

cos(x) ist aber kein konstanter Faktor.

Answer 2

Da fehlen einige Mal Integralzeichen und das zugehörige dx bzw. du. Wenn man sorgfältig ist, treten solche Fragen gar nicht erst auf.

Es gibt stets nur eine Integrationsvariable, die erkennt am dx bzw. du, je nachdem, ob vor oder nach dem Substituieren. Gemischtes Auftreten von x und u heißt, Substitution ist noch nicht vollständig durchgeführt.

Die Frage was man rausziehen kann, stellt sich vor dem Substitutieren, oder danach, aber nicht mitten im Substitutionsschritt.