Analytische Geometrie: Fahrzeug von Punkt Q bis zu dem Punkt, der genau vertikal unter der Strebe durch A und B liegt?

Question

Die Abbildung 1 zeigt die Seitenansicht einer Brücke über die Autobahn. Der Verlauf der seitlichen Streben kann modellhaft im Koordinatensystem durch die Punkte A(0|0|5), B(4,4|44|5), C(0,2/2|7) und D(4,8,48/9) beschrieben werden. Die Fahrbahn unterhalb der Brücke liegt in der x-y-Ebene. [1 Längeneinheit = 1 m].

1. Ein Fahrzeug bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit auf einer geradlinigen Bahn auf die Brücke zu. Zunächst befindet es sich im Punkt P(82|40|0) und 1,5 s später im Punkt Q(42/36|0). Berechnen Sie, welche Strecke das Fahrzeug in diesen 1,5 s zurückgelegt hat. Berechnen Sie die Geschwindigkeit des Fahrzeugs und geben Sie diese in (km/h) an.

2. Das Fahrzeug fährt unverändert geradlinig weiter. Ermitteln Sie, wie lange das Fahrzeug benötigt, um vom Punkt Q bis zu dem Punkt zu gelangen, der genau vertikal unter der Strebe durch A und B liegt.

Bei der 1 hatte ich bereits 26,8 m/s als Ergebnis, aber ich weiß nicht, wie man bei der 2 vorgeht. Kann mir jemand bitte bei dem Lösen dieser Aufgabe helfen?

Ich wäre für jegliche Hilfe sehr dankbar!

Answer 1

1. Ein Fahrzeug bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit auf einer geradlinigen Bahn auf die Brücke zu. Zunächst befindet es sich im Punkt P(82|40|0) und 1,5 s später im Punkt Q(42/36|0). Berechnen Sie, welche Strecke das Fahrzeug in diesen 1,5 s zurückgelegt hat. Berechnen Sie die Geschwindigkeit des Fahrzeugs und geben Sie diese in (km/h) an.

PQ = [42, 36, 0] - [82, 40, 0] = [-40, -4, 0]

|[-40, -4]| / 1.5 = 8/3·√101 m/s = 48/5·√101 km/h ≈ 96.48 km/h

2. Das Fahrzeug fährt unverändert geradlinig weiter. Ermitteln Sie, wie lange das Fahrzeug benötigt, um vom Punkt Q bis zu dem Punkt zu gelangen, der genau vertikal unter der Strebe durch A und B liegt.

[42, 36] + r·[-40, -4] = s·[4.4, 44] --> r = 32/33 ∧ s = 265/363

32/33·1.5 = 16/11 s ≈ 1.455 s

Answer 2

Ergebnis zu 1 stimmt.

Da die Punkte \(A\) und \(B\) auf derselben Höhe liegen, kannst du die Strebe einfach in die \(xy\)-Ebene legen, also mit \(z\)-Koordinate 0. Berechne dann den Schnittpunkt der beiden Geraden Strebe und Fahrbahn. Der Parameter für die Fahrbahn liefert dir dann die Zeit in 1,5 Sekunden, wenn du den Richtungsvektor \(\overrightarrow{PQ}\) verwendest, abzüglich der 1,5 Sekunden von \(P\) nach \(Q\), wenn man \(\overrightarrow{OP}\) als Stützvektor nimmt.

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