Wie groß ist die von den Funktionen f(x) = x^3 + 3x^2 + x + 3 und g(x) = x^2 + 2x + 5 eingeschlossene Fläche?

Question

Aufgabe:

Wie groß ist die von den Funktionen f(x) = x³ + 3x² + x + 3 und g(x) = x² + 2x + 5 eingeschlossene Fläche?

Problem/Ansatz:

Wie geht man so etwas an?

Comments

Man geht das genauso an, wie bei Deiner letzten Frage zu diesem Thema. Oder wie bei den anderen Beispielen auf dieser Website.

Aber dazu hat man nicht wirklich Zeit.

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Bei der letzten Aufgabe wurde nur eine Skizze gemacht, das hat mir nicht geholfen. Ich hab mir auch alte aufgaben angesehen, die werden aber teilweise so gerechnet das  ich es nicht kapiere. Ich habe gefunden, das im Integral ein Betrag sein muß, hier war der Betrag manchmal außen, meistens aber nicht da.

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... wurde nur eine Skizze gemacht

Immerhin hat der antwortende Benutzer auf jener Skizze noch geschrieben:

A = Integral .... = 22,5

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Und es wurde gefragt, woran es scheitert. Darauf wurde aber nicht weiter eingegangen.

Answer 1

x-Koordinaten der Schnittpunkte (rot eingezeichnet) der beiden Graphen berechnen.

Differenz der "oberen" minus der "unteren" Funktion zwischen den Schnittpunkten integrieren.

Comments

\( \displaystyle \int \limits_{-2}^{-1}\left(\left(x^{3}+3 x^{2}+x+3\right)-\left(x^{2}+2 x+5\right)\right) d x \\\\ + \; \int \limits_{-1}^{1}\left(\left(x^{2}+2 x+5\right)-\left(x^{3}+3 x^{2}+x+3\right)\right) d x \\\\ =\frac{37}{12}  \)

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Vielen Dank, ich komme aber auf 2.25, irgendetwas mache ich noch falsch.

Ah, habs,ein falsches Vorzeichen, danke.

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Kannst du mir bitte noch erklären, warum manchmal ein Betrag im Integral, manchmal vor dem Integral und manchmal überhaupt nicht vorkommt wie bei Dir?

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Wenn man direkt berücksichtigt, welche Funktion oben und welche unten liegt, kann man direkt die Differenz bilden. Ansonsten liefert \(|f(x)-g(x)|\) immer den korrekten Abstand als positiven Wert. Wenn man das aber händisch integriert, macht man da ohnehin eine Fallunterscheidung wie in dieser Antwort. Rechner können das aber direkt mit dem Betrag berechnen.

Mache dir ansonsten einfach mal klar, welche Bedeutung der Betrag um eine Differenz hat. Wenn es dir nur darum geht, zu bestimmen, wie weit eine Zahl \(a\) von einer anderen Zahl \(b\) auf dem Zahlenstrahl entfernt ist, reicht die Berechnung von \(|a-b|\).

Beträge macht man um das Integral, wenn man eine Fläche berechnen möchte und man nicht weiß, ob diese oberhalb oder unterhalb der \(x\)-Achse liegt. Man kann aber auch immer ohne Beträge rechnen und am Ende dann schlussfolgern, welchen Wert die gesuchte Fläche hat. Da spart man sich dann das Mitschleppen der Beträge beim Rechnen.

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Vielen Dank Dir!

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Die Beträge gehören prinzipiell unter das Integralzeichen, damit man nur positive Funktionswerte aufintegriert, wenn man die Fläche berechnen will.

Wenn die Funktion (bzw. die Differenz zweier Funktionen) aber auf dem Integrationsbereich immer dasselbe Vorzeichen hat, kann man die Beträge statt dessen auch außen um das Integral machen, da es dasselbe Ergebnis liefert.

Wenn aber, wie in Deinem Beispiel, die Differenz auf dem Integrationsbereich das Vorzeichen einmal oder öfters wechselt (einmal ist die eine Funktion oben, einmal die andere), darf man die Beträge nicht nach außen ziehen, das würde ein falsches Ergebnis liefern.

Stattdessen muß man den Integrationsbereich so in mehrere Bereiche zerlegen (so wie das Döschwo getan hat), daß das Vorzeichen bei jedem Bereich gleich bleibt. Dann kann man bei jedem einzelnen Integral die Beträge jeweils herausziehen.

Noch einfacher ist es, wenn man dann weiß, welche Funktion oben bzw. unten ist und man das Integral genau so bildet: ‚Obere-Untere‘, denn dann ist die Differenz immer positiv und man kann daher auf die Beträge verzichten. Das geht also nur, wenn man eine Skizze hat. Sollte das Integral einen negativen Wert liefern, hat man vermutlich ‚untere-obere‘ gerechnet. Das würde ein Betrag wieder korrigieren.

Ein etwas längerer Text, der es hoffentlich klarer macht.

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@user26605 Ein sinnvoller, klarer Text, der auch so manchem Antworter zur Lektüre (und Durcharbeiten!) empfohlen sei.

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Da waren zwei andere Benutzer schneller als ich in der Beantwortung der Rückfrage :)