Ich möchte die Mächtigkeiten der Mengen
1) A = {(x_1,..,x_5) in {1,…,6}^5 : ∃! (i,j), i ≠ j :
x_i = x_j = 1}.
2) B = {(x_1,..,x_4) in {1,…,5}^4 : ∃! (i,j), i ≠ j :
x_i = x_j}
bestimmen.
Meine Lösung:
1) Sei (x_1,….,x_5) in A. Dann sind zwei Komponenten davon mit der 1 belegt. Für die Positionierung der 1 in zwei Komponenten im 5-Tupel, gibt es (5 2) Möglichkeiten.
Hat man das Paar (1,1) im 5-Tupel eingebracht, so gibt es noch drei freie Komponenten, welche die Einträge {2,3,4,5,6} haben können. Also weitere 5^3 Möglichkeiten.
Insgesamt folgt |A| = (5 2) 5^3 = 1250.
2) Sei (x_1,….,x_4) in A. Dann gibt es 5 Möglichkeiten die doppelte Zahl k zu wählen. Hat man k gewählt, so gibt es (4 2) Möglichkeiten die zwei Kompontenten mit Eintrag k im 4-Tupel zu positionieren.
Ist es positioniert, so sind es noch die letzten zwei Felder mit Werten in {1,2,3,4,5} \ {k}.
Die Anzahl an Möglichkeiten, diese zu wählen ist (4 2). Da ausserdem die Reihenfolge eine Rolle spielt, gibt es noch 2! = 2 Permutationen der letzten zwei Komponenten.
Also folgt |B| = 5 (4 2) (4 2) 2 = 360.
Ist meine Lösung richtig?
