Braucht man da eine Vorzeichentabelle?

Question

Aufgabe: Brauche keine Lösung nur eine Verständnisfrage

TEIL 2: mit Hilfsmittel - Analysis I

1.0 Gegeben ist die Funktion \( f: x \mapsto-\frac{1}{2} x^{4}-2 x^{3}-2 x^{2} \) mit der Definitionsmenge \( D_{f}=\mathbb{R} \). Der Graph der Funktion \( f \) in einem kartesischen Koordinatensystem wird mit \( G_{f} \) bezeichnet.

1.2 Ermitteln Sie jeweils die Art und Koordinaten aller Punkte, in denen \( G_{f} \) eine waagrechte Tangente besitzen. (7BE)

Die Nullstellen der ersten Ableitungen lauten 0; -2 und -1 das sind meine möglichen Kandidaten für die Stellen eine waagerechten Tangente.

Frage: Jetzt muss ich nur noch die Art der Koordinaten bestimmen, in der Lösung wurde eine Vorzeichentabelle gemacht um zu schauen ob es ein HOP oder TIP ist, wäre es auch möglich KEINE Vorzeichentabelle zu machen sondern nur mir der zweiten Ableitung zu arbeiten und dann schauen ob die Funktion größere oder kleiner als 0 ist oder ist die VZT zwingend notwendig um zu bestimmen ob dort eine Waagerechte Tangente vorliegt

@Mathecoach In diesem Fall ist es doch ein offenes Intervall also das prüfen auf Randextrema ist in diesem Fall obsolet oder?

Answer 1

Es ist kein offenes Intervall, aber es gibt dennoch keine Randextrema, da es ja auch keinen Rand gibt.

Bei ganzrationalen Funktionen wie hier, geht es über die zweite Ableitung schneller. Das ist also erlaubt. Bei e-Funktionen empfehle ich das Vorzeichenwechselkriterium, wenn es schneller geht als die Funktion ein weiteres Mal abzuleiten. Beachte aber, dass du bei \(f''(x)=0\) keine Aussage treffen kannst und dann das VZW nutzen musst.

Grundsätzlich: Deine Lösung muss mathematisch korrekt sein. Welches Vorgehen man da wählt, spielt in der Regel keine Rolle, es sei denn, die Aufgabe gibt Entsprechendes vor.

Comments

Für ein Polynom vierten Grades mit negativem Leitkoeffizienten und drei Nullstellen seiner Ableitung benötigt man weder eine Vorzeichentabelle noch eine zweite Ableitung, um die "Art der Punkte" festzustellen.

---

R ist eine unbeschränkte Menge und wird manchmal auch in Intervallschreibweise (-∞ ; +∞) geschrieben. Trotzdem wird R nicht als offenes Intervall bezeichnet.

Ein offenes Intervall ist eine begrenzte Teilmenge von R

z. B. (a ; b) = {x ∈ R ∣ a < x < b}

Siehe dazu auch https://de.wikipedia.org/wiki/Intervall_(Mathematik)

Answer 2

Du kannst auch mit der zweiten Ableitung arbeiten. Eine Vorzeichentabelle ist nicht zwingend nötig. Das Verhalten für \(  \lim_{x \to \pm \infty} f(x) \) kannst Du separat untersuchen.

Da der dominierende Term \( -\frac{1}{2} x^4 \) lautet ist der Grenzwert jeweils \( -\infty \)

Answer 3

Wenn ein nach unten geöffnetes Polynom 4. Grades, welches die maximale Anzahl von drei Stellen mit waagerechter Tangente besitzt, dann sind dieses wirkliche Extrempunkte und zwar von links nach rechts ein Hoch- ein Tief- und wieder ein Hochpunkt.

Das gilt übrigens immer.

Ein Polynom n. Grades kann maximal n Nullstellen haben. Die Ableitung vom Grad n - 1 kann maximal n - 1 Nullstellen haben. Existieren alle diese n - 1 Nullstellen dann sind das alles Nullstellen mit Vorzeichenwechsel und damit wirkliche Extrempunkte.

Wenn man dann noch das Verhalten im Unendlichen kennt, weiß man auch, was für Extremstellen man am weitesten links- und rechts besitzt.

f(x) = - 1/2·x^4 - 2·x^3 - 2·x^2 = 0 --> x = -2 (zweifach) ∨ x = 0 (zweifach)

Bereits an den Nullstellen der Originalfunktion kann man erkennen das dies Extremstellen sind, weil dort eine zweifache Nullstelle existiert.

f'(x) = - 2·x^3 - 6·x^2 - 4·x = 0 --> x = -2 ∨ x = -1 ∨ x = 0

f(-2) = 0 → HP(-2 | 0)

f(-1) = -0.5 → TP(-1 | -0.5)

f(0) = 0 → HP(0 | 0)

f''(x) = - 6·x^2 - 12·x - 4 = 0 --> x = -1 - √3/3 - 1 ∨ x = -1 + √3/3

Da die 2. Ableitung eine Funktion 2. Grades mit maximal zwei Nullstellen ist, haben wir hier also auch zwei wirkliche Wendestellen

Comments

Wenn nach den Nullstellen gefragt ist, muss da x und y Koordinate angeben oder reicht nur x = ... ?

---

Na ja, wie wird denn wohl der y wert sein?  ;-)

---

Achte auf den Unterschied "Stelle" und "Punkt". Nullstellen sind, die Stellen, an denen der Funktionswert 0 ist. Also die x-Werte. Schnittpunkte mit der x-Achse haben die Form (x,0).

---

Mit einer Stelle wird immer nur nach einer x-Koordinate gefragt.

Bestimme die Nullstellen, Extremstellen, Wendestellen, Stellen mit waagerechter Tangente, fragt immer nur nach den x-Koordinaten der betreffenden Punkte.

Anders wenn gefragt ist, bestimmen Sie die Schnittpunkte mit der x-Achse, die Extrempunkte oder Wendepunkte. Da wird dann nach der x- und y- Koordinate in Form eines Punktes verlangt.