Fundamentalbereich und Diedergruppe

Question

Kann mir noch jemand schnell helfen? Ich habe in ein paar Stunden Abgabe und noch keine Idee

 

1)

Bezeichne Q ⊂ℝ² das Quadrat mit den Eckpunkten (1,1); (-1,1); (-1,-1); (1,-1). Betrachte die entsprechende Diedergruppe D_2*4 als Untergruppe von O(2). Bestimme einen Fundamentalbereich F⊂Q.

Comments

https://de.wikipedia.org/wiki/Diedergruppe

Hier wird die Diedergruppe anhand von Schneeflocken und Stoppschild erklärt.

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Wir wissen, dass wir folgendes zeigen sollen, aber nicht wie

1) F ist abgeschlossen

i) Beschreibe F als Punktemenge

ii) zeige, dass F abgeschlossen ist

 

2) ∪ gF=S D₄ Drehgruppe

z.z.: ∀σ∈S existiert g∈D₄ und x∈F mit g(x)=s

gF= {g(x)| x∈F}

 

3) g∈D₄ \ {id} -> gF∩F ⊆∂F

z.z.: Sei (a,b) ∈ gF∩F, dann ist (a,b) von der Form

 

(x,x), x ∈ [0,1] }

(x,0), x ∈ [0,1] } ∂F

(1,y), x ∈ [0,1] }