Quotientenregel und 1. Ableitung der Funktion y=(x-3)^2 / (x+1)^2

Question

Ich habe ein Beispiel zur 1 Ableitung der Funktion y=(x-3)^2 / (x+1)^2

Also die Sache mit der Quotientenregel ist ja ganz okay, nur das Herausheben fällt mir schwer. Hat wer eine Idee?

Answer 1

f(x) = (x - 3)^2/(x + 1)^2

u(x) = (x - 3)^2
u'(x) = 2·(x - 3)

v(x) = (x + 1)^2
v'(x) = 2·(x + 1)

f'(x) = (2·(x - 3) * (x + 1)^2 - (x - 3)^2 * 2·(x + 1)) / (x + 1)^4

Wir sehen das wir (x + 1) kürzen können

f'(x) = (2·(x - 3) * (x + 1) - (x - 3)^2 * 2) / (x + 1)^3

Nun noch Zähler zusammenfassen

f'(x) = (8·x - 24) / (x + 1)^3

Answer 2

f ( x ) = ( x - 3 ) ² / ( x + 1 ) ²

=>

f ' ( x ) = [ 1 * 2 * ( x - 3 ) * ( x + 1 ) ² - ( x - 3 ) ² * 1 * 2 * ( x + 1 ) ] /  ( x + 1 ) ⁴

mit ( x + 1 ) kürzen:

= [ 2 * ( x - 3 ) * ( x + 1 ) - ( x - 3 ) ² * 2  ] /  ( x + 1 ) ³

Nun kann man im Zähler noch 2 * ( x - 3 ) ausklammern:

= [ 2 * ( x - 3 ) *  [ ( x + 1 ) - ( x - 3 ) ] ] /  ( x + 1 ) ³

und nun noch die innere Klammer zusammenfassen:

= [ 2 * ( x - 3 ) *  [ 4 ] ] /  ( x + 1 ) ³

und noch weiter zusammenfassen:

= 8 ( x - 3 ) / ( x + 1 ) ³

Schließlich, wenn man will, noch ausmultiplizieren:

= ( 8 x - 24 ) / ( x + 1 ) ³