Question

Surjektivität untersuchen:

a) \( f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2},(x, y) \mapsto(y, 3) \)

b) \( g: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2},(x, y) \mapsto(x+3, y-2) \)

Answer 1

Surjektivität kann man beweisen, indem man sich ein beliebiges Element y aus dem Wertebereich der Abbildung nimmt und zeigt, dass es ein Element x aus dem Definitionsbereich der Abbildung gibt, welches auf y abbildet.

z.B. für a)

Nehme dir ein beliebiges Element (a,b) aus dem Wertebereich R^2:

$$Sei~~(a,b) \in \mathbb{ R }^2$$.

Nun muss ein (x,y) existieren, welches auf (a,b) abgebildet wird ( sonst wäre die Funktion nicht surjektiv ). D.h. in mathematischer Notation ist zu zeigen:

$$\exists (x,y) \in \mathbb{ R }^2: y = a \land 3 = b$$

In diesem eher einfachen Beispiel steht die Lösung eigentlich schon da: a muss gleich y sein und b gleich 3. Dafür gibt es das einfache Gegenbeispiel (0,4), welches sicher aus dem Wertebereich der Funktion stammt, aber du wirst kein (x,y) finden, welches auf (0,4) abbildet, da das zweite Element in der Klammer ja schon 3 sein müsste.

Also ist die Funktion bei a nicht surjektiv.

Bei b) kannst du analog vorgehen, oder einfach ein Gegenbeispiel suchen ( welches es natürlich nur gibt, wenn die Funktion nicht surjektiv ist ).


Schau auch hier mal https://www.mathelounge.de/111750/muss-ueberpruefen-abbildung-injektiv-bijektiv-surjektiv