Erste Ableitung bilden mithilfe Kettenregel. f(x) = ln(√(1 + sin^2 x))

Question

Ich verstehe nicht wie ich die Ableitung der folgenden Funktion zu bilden habe:

\( \ln \sqrt{1+\sin ^{2} x} \)

Mein erster Gedanke war es zuerst die Kettenregel für die Wurzel anzuwenden und anschließend die Produktregel um es mit dem ln zu verbinden.

Answer 1

Nun,

√ ( 1 + sin ² x ) ist ja kein Faktor sondern das Argument des ln. Das versteht man besser, wenn man den Ausdruck entsprechend klammert:

ln ( √ ( 1 + sin ² x ) )

Somit liegt hier eine Funktion vor ( ln ) deren Argument eine Funktion ist ( √ ) in deren Argument wiederum eine Funktion auftritt ( sin ² ). Das aber bedeutet, dass die Kettenregel mehrfach (geschachtelt) angewendet werden muss.

Es gilt:

[ f ( g ( h ( x ) ) ) ] ' 

= h ' ( x ) * g ' ( h ( x ) ) * f ' g ( h ( x ) )

etwas rauh gesprochen: "Innerste Ableitung * nächst innere Ableitung * ... * äußere Ableitung."

Vorliegend ergibt sich:

ln ( √ ( 1 + sin ² x ) ) '

= sin ( 2 x ) * ( 1 / ( 2 * √ (  1 + sin ² x ) ) * ( 1 / √ ( 1 + sin ² x ) )

Das kann man nun wohl noch ein wenig zusammenfassen, aber das schaffst du sicher selbst.

Comments

Wow vielen dank!
ich dachte zunächst ich müsste die Ableitung der Wurzel mithilfe der prduktregel mit der Ableitung von ln verbinden. Aber wenn ich das richtig verstehe kann bzw. muss ich das ln "ignorieren" oder?


Danke für deine ausführlichkeit ich finde es schwer da durchzusteigen...


Daumen hoch!

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Achso den ln muss ich als äußerste ableitung mit dem rest multiplizieren..

hab ich eben erst an der farbgebung erkannt :S

kannst du mir vielleicht erklären was ich unter dem argument verstehen kann?

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Der Begriff "Argument einer Funktion" bezeichnet den Term, auf den die Funktion angewendet wird. Beispielsweise ist bei
f ( x )
x das Argument von f.

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$$\text{Wäre es nicht viel einfacher }\frac12\log\left(1+\sin^2x\right)\text { abzuleiten?}$$

Answer 2

Ich bekomme etwas anderes heraus.

Ich gehe immer von innen nach außen.

term1 = 1 + [ sin ( x ) ]^2
term1 ´ = 2 * sin ( x ) * cos ( x )
term2 := sqrt ( term1 )
term2 ´ = term1 ´ / [ 2 * sqrt ( term1 ) ]
term3 = ln ( term2 )
term3 ´ = term2 ´ / term2
term3 ´= ( term1 ´ /  [  2 * sqrt ( term1 ) ]  ) / sqrt ( term1 )
term3 ´=  ( term1 ´  / [ 2 * ( sqrt ( term1 ))^2  ]
term3 ´ = term1 ´ / [ 2 * term1 ]
term3 ´ = [2 * sin (x ) * cos ( x ) ] / [ 2 * [ 1 + ( sin ( x )]^2  ]
term3 ´ = [ sin (x ) * cos ( x ) ] / [ 1 + ( sin^2 ( x )]  ]

Bei Fehlern oder Fragen wieder melden.

mfg Georg

Comments

2 sin x cos x = sin(2x)

Sieht daher ziemlich ähnlich aus wie die Ableitung von JotEs.

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Beide Ergebnisse sind äquivalent.

Das sagt auch WolframAlpha:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=%28sin%28x%29+cos%28x%29%29%2F%28sin^2%28x%29%2B1%29%3Dsin+%28+2+x+%29+*+%28+1+%2F+%28+2+*+%E2%88%9A+%28++1+%2B+sin^2%28x%29+%29+%29+*+%28+1+%2F+%E2%88%9A+%28+1+%2B+sin^2+%28x%29+%29+%29

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Stimmt. mfg Georg