Binomischen Lehrsatz für (a+b)^n mit vollständiger Induktion beweisen?

Question

Beweise diese Formel per vollständiger Induktion über n.

Comments

Die zweite Gleichung folgt direkt aus der ersten.

Warum machst du so einen Umweg ?

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Ja weil wenn man den rechten Teil der ersten Gleichung in einem Summenzeichen darstellt, dann ergibt es den rechten Teil der zweiten Gleichung.

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Wir betrachten für ∀ ℤ mit 0≤k≤m die Binominalkoeffizienten

$$\\ B\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}:=(\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}):=\frac { n! }{ k!(n-k)! } $$

Beweisen sie beide binomischen Formeln

$$ (1+x)^{n} = \sum_{ k=0 }^{ n }{ B\begin{matrix} n \\ k \end{matrix} } x^{k} $$

und

$$ (a+b)^{n} = \sum_{ k=0 }^{ n }{ B\begin{matrix} n \\ k \end{matrix} } a^{k} b^{n-k} $$

Leider hatte ich in der Schule nie Induktionen (unfähige Lehrer) und mein schlaues Buch hilft bei der Aufgabe auch nicht wirklich weiter. Wie genau muss ich da jetzt nach dem Induktionsanfang weiter machen?

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Leider hatte ich in der Schule nie Induktionen (unfähige Lehrer)

Die Bemerkung find ich gut. Vollstaendige Induktion gibt's seit mindestens 30 Jahren nicht mehr in der Schule. Gelernt hast Du das gerade erst im Studium. Aber trotzdem sind die unfaehigen Lehrer schuld.

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ich glaube kaum,dass der lehrplan von der 6. bis 9. klasse in mathematik aus frühstücken und filme schauen besteht? ich darf meinen lehrer also unfähig nennen,egal ob es drin vor kam oder nicht. und 99% meiner kommilitonen hatten es in der schule

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EDIT: 1. Es gibt ein Problem mit der Darstellung deiner Eingabe.

2. Wie du deinen Lehrer bezeichnest, hat nichts in der Frage verloren.

3. Fakename: Welchen Lehrplan und welche Schule meinst du? Die "Logik" der vollständigen Induktion wird oft im Zusammenhang mit den natürlichen Zahlen, bei den Zahlenfolgen oder bei der Kombinatorik behandelt. Das gehört aber eher in die Sekundarstufe 2: Klassen 9/10-12.

4. 9788: Setze dich mit Kommilitonen zusammen, wenn du Aufgaben löst, und besuche unbedingt alle freiwilligen Übungsstunden oder was euch da angeboten wird. Es kann auch nötig sein, dass du bei jemandem in einem höheren Semester "Nachhilfe" nimmst. Da merkst du genauer, wie/was du nachlernen solltest, wenn du verhältnismässig ungenügende Vorkenntnisse hast.

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Bei b) ist wohl https://www.mathelounge.de/112843/binomischen-lehrsatz-fur-vollstandiger-induktion-beweisen gemeint.

a) ist eine direkte Folge aus b).

Setze:

1 = a und x=b

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@Lu: Also in BaWu haben sie es in den 80ern aus dem Lehrplan fuers Gymnasium gestrichen. Inzwischen macht man es wieder? Haette ich wirklich nicht erwartet, aber ich gebe zu, dass ich Ende der 80er zuletzt Schulbuecher in den Haenden hatte (meine eigenen). Warum dann hier so viele Fragen, bei denen man auf den ersten Blick sieht, dass der Frager vom Thema Vollstaendige Induktion noch nie was gehoert hat?

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Es gibt heute offenbar Leute, die studieren ohne, dass sie vorher ein Gymnasium besucht haben oder halt aus BaWü (?) kommen. 9588 schreibt ja, dass 99% der Kommilitonen das Thema kennen.

Ob das bei den obigen Themen als Prüfungsthema dann auch geprüft wird, ist eine andere Frage. Es wird aber wohl fast überall mal zur Sprache kommen, wie man Formeln, wie

1 + 2 + .... + n = (n+1)*n / 2

allgemein zeigen kann. Die Interessierten haben nach ein, zwei Beispielen, das System begriffen oder zumindest das Gefühl, dass sie wissen, was sie bei solchen Beweisen eigentlich zu tun hätten.

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@Lu Ja,solche Leute gibt es. Nennt sich Gesamtschule mit Abitur nach 13 Jahren. Meine Kommilitonen bestehen zu 90% aber aus Leuten von Gymnasium. Dementsprechend kann es sein,dass es zwischen den Schulformen auch unterschiedliche Lehrplaninhalte gibt. Und das Systhem habe ich soweit auch begriffen,nur kam ich bis zu deinem Link trotzdem nicht weiter nach dem Induktionsanfang. Und bekanntlich kann nur fragenden Menschen geholfen werden :)

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Ausführlicher als im Video im Link, kann ich dir den Induktionsschritt (Rechnung im screenshot) leider nicht erklären. Hast du dir die Erklärung denn angehört?

Wo genau kommst du nicht mit?

Summenzeichen und Binomialkoeffizienten sind dir ein Begriff? Wenn nicht: Erst mal dort beginnen. 

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@Lu das hast du glaub gerade falsch verstanden. Ich kam nicht weiter bis du den Link gepostet hattest. Danach kam ich damit weiter. Kämpf mich grad noch durch die letzten 3 Zeilen,weil mein Laptop alle 10 Minuten abschmiert,aber es geht vorran. Danke nochmal dafür!

Noch zu deinem Rat bezüglich mit Kommilitonen zusammensetzen und die Übungsstunden.

Ich habe mich mit einem der Übungsgruppenleiter angefreundet,nur darf der mir meine Fragen halt nur indirekt beantworten,vorallem da ich bei ihm in der Gruppe bin und dies sonst unfair den anderen gegenüber wäre. Er korrigiert mir meine Sachen auch schon vor der Abgabe. Das ist schon mehr als er eigentlich dürfte

Answer 1

Versuche es mal hier

https://www.youtube.com/results?search_query=Binomischen+Lehrsatz+induktion

Da das Video bei Youtube nicht mehr verfügbar ist, habe ich jetzt einen allgemeinen Suchlink reingeschrieben. Dann kann man sich auch gleich mehrere Videos zum Thema ansehen und sich das beste raussuchen.

Comments

Ja,ok, also da muss ich ja eigentlich nichts versuchen: er ist da bewiesen, danke))

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Schöner Beweis.
Wegen der etwas speziellen Definition von (a+b)^0, würde ich die Verankerung noch mit n=1 ergänzen.

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Ok guter Tipp))