zeigen, dass Spaltenraum und Vektorraum übereinstimmen

Question

gegeben sei die 3x3 Matrix

1	4	7
2	5	8
3	6	9

Ich soll zeigen, dass Spalten- und Zeilenraum übereinstimmen, indem ich zeige, dass alle Zeilenvektoren im Spaltenraum liegen. Wie mache ich das?

Answer 1

Nun, der Spaltenraum ist gegeben durch

SR = { S = ( s₁, s₂ , s₃ ) | S = ( a * ( 1 , 2 , 3 ) , b * ( 4 , 5 , 6 ) , c * ( 7 , 8 , 9 ) ) ; a, b, c ∈ R }

Zu zeigen ist, dass sich die Zeilenvektoren als Linearkombinationen  der Spaltenvektoren darstellen lassen, ob es also für jeden Zeilenvektor Z_i relle Zahlen a_i, b_i, c_i existieren, sodass gilt:

Z_i = ( a_i * ( 1 , 2 , 3 ) , b_i * ( 4 , 5 , 6 ) , c_i * ( 7 , 8 , 9 ) )

Für den ersten Zeilenvektor Z₁ muss also gelten:

( 1 , 4 , 7 ) = ( a₁ * ( 1 , 2 , 3 ) , b₁ * ( 4 , 5 , 6 ) , c₁ * ( 7 , 8 , 9 ) )

Das führt auf das Gleichungssystem:

a₁ + 4 b₁ + 7 c ₁ = 1
2 a₁ + 5 b₁ + 8 c ₁ = 4
3 a₁ + 6 b₁ + 9 c ₁ = 7

Dieses Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen der Form

( a , b , c ) = ( t , ( 20 / 3 ) - 2 t , t - ( 11 / 3 ) ) , t ∈ R

Z₁ ist also als Linearkombination der Spaltenvektoren der Matrix darstellbar und liegt somit im Spaltenraum.

Zeige nun, dass Selbiges auch für Z₂ und Z₃ gilt. Wenn dir das gelungen ist, dann hast du die Aufgabe erfüllt.