fa ( x ) = a ( x 2 - 13 x + 40 ) = 0
gilt für a ≠ 0
<=> x 2 - 13 x + 40 = 0
Die Nullstellen sind also unabhängig vom Wert des Parameters a, d. h. alle Parabeln der Schar fa ( x ) haben dieselben Nullstellen.
Nun kann man die Nullstellen mit der pq-Formel berechnen, aber da ich diese Formeln nicht mag, weil sie den Blick auf das Wesentliche verschleiern, rechne ich lieber mit der quadratischen Ergänzung. Das geht mindestens genau so schnell und ist sicherer, weil man sich nicht auf seine Erinnerung verlassen muss, sondern mit einfachen Äquivalenzumformungen auskommt. Auch die gefürchtete Berechnung der quadratischen Ergänzung ist nicht wirklich schwierig.
<=> x 2 - 13 x = - 40
<=> x 2 - 13 x + 6,5 2 = 6,5 2- 40 = 2,25
<=> ( x - 6,5 ) 2 = 2,25
<=> x - 6,5 = ± √ 2,25 = ± 1,5
=> x1 = 5 , x2 = 8
Der Flächeninhalt A(a) der Fläche, die jeder Funktionsgraph der Schar fa ( x ) mit der x-Achse einschließt, ist gleich dem Betrag des Integrals über fa ( x ) In dem Intervall zwischen den berechneten Nullstellen, also:
$$A(a)=\left| \int _{ { x }_{ 1 } }^{ { x }_{ 2 } }{ a({ x }^{ 2 }-13x+40)dx } \right|$$$$=\left| a\int _{ 5 }^{ 8 }{ { x }^{ 2 }-13x+40dx } \right|$$$$=\left| a{ \left[ \frac { 1 }{ 3 } { x }^{ 3 }-\frac { 13 }{ 2 } { x }^{ 2 }+40x \right] }_{ 5 }^{ 8 } \right|$$$$=\left| a{ \left[ \left( \frac { 1 }{ 3 } { 8 }^{ 3 }-\frac { 13 }{ 2 } { 8 }^{ 2 }+40*8 \right) -\left( \frac { 1 }{ 3 } { 5 }^{ 3 }-\frac { 13 }{ 2 } { 5 }^{ 2 }+40*5 \right) \right] } \right|$$$$=\left| a{ \left[ \left( \frac { 512 }{ 3 } -416+320 \right) -\left( \frac { 125 }{ 3 } -\frac { 325 }{ 2 } +200 \right) \right] } \right|$$$$=\left| a{ \left[ \frac { 448 }{ 6 } -\frac { 475 }{ 6 } \right] } \right|$$$$=\left| { -\frac { 27 }{ 6 } a } \right|$$$$=\left| { -4,5a } \right|$$
