Question

Kann eine Funktion 4 grades nur einen Wendepunkt haben?

Answer 1

Funktionen 4. Grades können nicht genau eine Wendestelle haben, da die Äste ihrer Graphen entweder beide gegen unendlich oder beide gegen - unendlich streben, wobei der Betrag ihrer Steigung für größer bzw. kleiner werdendes x zunimmt. Das aber ist nur möglich, wenn die Anzahl der Wendestellen gerade ist.

Daher muss eine Funktion 4. Grades eine geradzahlige Anzahl von Wendestellen haben, also entweder keine oder zwei.

Answer 2

Damit die Funktion einen Wendepunkt hat, muss die zweite Ableitung eine Nullstelle haben. Welchen Grad hat die zweite Ableitung einer Funktion vierten Grades? Und wie viele Nullstellen kann sie demzufolge haben?

Comments

zweite ableitung ist dann 2 grades und hat normal 2 wendepunke oder?

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Die zweite Ableitung hat nicht (höchstens) zwei Wendepunkte, sondern Nullstellen. D.h. die Funktion vierten Grades kann maximal zwei Wendestellen haben (aber auch eine oder gar keine).

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und was für Voraussetzungen muss dann die Funktion 4 grades haben, damit sie nur eine Wendestelle hat ?

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Die zweite Ableitung darf eben nur eine Nullstelle haben.

Du kannst ja mal eine Funktion zweiten Grades mit nur einer Nullstelle nehmen und diese zweimal integrieren. Dann erhältst du eine Funktion vierten Grades mit genau einer Wendestelle.

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^^

die frage die ich zu lösen versuche war:

Bestimmen Sie k ∈R so, dass f(x) = x⁴+6x³+kx²  genau einen Flachpunkt besitzt.

könnte noch hilfe gebrauchen, checks irgenwie immer noch nicht ganz, sorry ^^

danke schon mal 

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Ist ein Flachpunkt dasselbe wie ein Wendepunkt?

Bestimme die zweite Ableitung von f und gucke, für welches k diese genau eine Nullstelle besitzt.

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f''(x) =12x²+36x+2k

dann bin ich in die Mitternachtsformel und hab die gleichung unter der Wurzel (36²-4*12*2k) nach k aufgelöst 

dann komm ich auf 13,5 für k 

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@ Nick:

Du kannst ja mal eine Funktion zweiten Grades mit nur einer Nullstelle nehmen und diese zweimal integrieren. Dann erhältst du eine Funktion vierten Grades mit genau einer Wendestelle.

Ich nehme die Funktion f ( x ) = x ²

Diese hat bei x = 0 eine (doppelte) Nullstelle (quadratische Funktionen mit genau einer einzelnen Nullstelle gibt es nicht).

Zweimal integrieren ergibt :

F ( x ) = ( 1 / 12 ) x ⁴

Diese Funktion hat bei x = 0 eine vierfache Nullstelle - und keine Wendestelle.

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@JotEs: Stimmt, ich habe oben etwas Mist erzählt: Genau ein Wendepunkt ist nicht möglich (siehe Antwort von JotEs).

Aber in deiner Aufgabe wird ja nach Flachpunkten gefragt. Laut Wikipedia sind das alle Punkte, an denen die zweite Ableitung Null ist (das müssen aber keine Wendepunkte sein). Aber nochmal die Frage an dich: Wie habt ihr Flachpunkt definiert?

Eine Funktion vierten Grades kann nämlich genau einen Flachpunkt haben.

Und welche Gleichung hast du nach k aufgelöst? Noch steht da keine Gleichung.

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zweite ableitung lautet ja dann:   f''(x) =12x²+36x+2k

dann bin ich in die mitternachtsformel und hab das was unter der wurzel steht, also 36²-4*12*2k

hab ich dann Null gesetzt also 36²-4*12*2k = 0 dann kommt raus k = 13,5.

das stimmt aber nicht, weil wenn ich 13,5 für k einsetze, bekomme ich wieder 2 Flachpunkte heraus.

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Kannst oder willst du meine Frage nicht beantworten? Zum dritten Mal: Wie habt ihr Flachpunkt definiert?

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Jede stelle  x₀ mit f'' (x₀) =0

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OK, dann müsste k=13,5 eigentlich richtig sein. Was hast du denn gerechnet?

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ich bin dann mit den 13,5 wieder in die anfangsfunkton und hab dann erneut 2x abgeleitet 

dann bekomm ich für x₁=0 und für x₂= -3 

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Hmm, da ist dann irgendwas schief gelaufen. Die zweite Ableitung darf natürlich nur eine Nullstelle besitzen (so hast du das k ja gerade berechnet).

Wie sieht deine zweite Ableitung aus, die du berechnet hast?

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der letzte kommentar von mir stimmt nicht, ich hab nachdem ich 13,5 herausbekommen hab nicht mehr weiter gewusst

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Eigentlich bist du ja schon fertig, du hast ja den Wert für k berechnet

Wenn du es aber nochmal überprüfen möchtest: das k in die Funktion einsetzen, zweimal ableiten, und die Nullstelle(n) der zweiten Ableitung berechnen. Dürfte ja nicht so schwer sein. ;-)

Answer 3

Ich möchte meinen Senf auch noch dazu geben.

Eine Funktion 4.Grades ist in der 2.Ableitung eine Funktion 2.Grades.

Eine Funktion 2.Grades kann

- keine Nullstelle haben
- 1 Nullstelle haben
- 2 Nullstellen haben

Nullstelle = Wendepunkt = Flachstelle ( lustiger Name ) = ebene Stelle
( Unter einer Flachstelle könnte ich mir einen Punkt mit Steigung = 0
vorstellen, sprich einen Sattelpunkt. Das möchte ich aber jetzt nicht
weiter vertiefen, sondern gehe von Nullstelle = Wendepunkt aus ).

Sollte die 2.Ableitung wie angegeben
f '' ( x ) =12 * x²+36* x+2*k

richtig sein ergibt sich für k = 13.5
eine Nullstelle.bei x = -3/2

Die ganze Sache ist aber noch nicht zu Ende analysiert,
aber es ist jetzt 24:30 besser 0:30 Uhr und ich bin reif
zu Bett  zu gehen.

mfg Georg

Comments

Nachtrag 8:00 Uhr am Morgen

Flachpunkt ist laut Wikipedia :
" ein Punkt an dem die zweite Ableitung = 0 ist aber sich das
Krümmungsverhalten nicht ändert, also kein Vorzeichenwechsel
statfindet. "

Dies genau hier der Fall. 
f '' ( x ) =12 * x² + 36 * x+27
ist für x = -1.5 gleich 0, ansonsten aber stets größer 0.