Question

Berechnen Sie den Flächeninhalt eines regulären Achtecks mit der Seite a.

Weis jemand wie ich diese Aufgabe lösen kann? Mehr Abgaben habe ich nicht.

Gruss Robert

Answer 1

wenn du das nicht gegeben hast bleibt dir nichts anderes als es allgemein zu machen:

Answer 2

Ein regelmäßiges Achteck lässt sich in 8 kongruente, gleichschenklige Dreiecke zerlegen, deren Basis die Seitenlänge a ist und deren Zentriwinkel (also der der Basis gegenüberliegende Winkel) die Größe

360 ° / 8 = 45 °

hat.

Es gilt also:

A_Achteck = 8 * A_Dreieck

 

Der Flächeninhalt eines solchen Dreiecks ist

A_Dreieck = ( a * h ) / 2

wobei h die Höhe des Dreiecks ist.
Nun gilt für die Höhe h eines gleichseitigen Dreiecks mit der Basis a und einem der Basis gegenüberliegenden Winkel gamma = 45 ° :

( a / 2 ) / h = tan ( gamma / 2 )

Auflösen nach h:

h = ( a / 2 ) / tan ( gamma / 2 )

= a / ( 2 * tan ( gamma / 2 ) )

Mit gamma = 45 ° ergibt sich:

h = a / ( 2 * tan ( 22,5 ° ) )

Somit hat das betrachtete Dreieck einen Flächeninhalt von

A_Dreieck = ( a * h ) / 2

= ( a * a / ( 2 * tan ( 22,5 ° ) ) ) / 2

= a ² / ( 4 * tan ( 22,5 ° ) )

und daraus folgt für den Flächeninhalt eines regelmäßigen Achtecks mit der Seitenlänge A:

A_Achteck

= 8 * A_Dreieck

= 8 a ² / ( 4 * tan ( 22,5 ° ) )

= 2 a ² / tan ( 22,5 ° ) 

Wenn man nun noch weiß, dass gilt:

tan ( 22,5 ° ) =  1 / ( 1 + √ 2 )

so kann man dies noch umformen zu:

= 2 a ² * ( 1 + √ 2 )