Extremwertproblem - Dreieck unter Funktion (ohne rechter Winkel)

Question

Gegeben ist die Funktion f(x) mit:

Die Punkte P ( 0 | f(0 ) , Q ( 0 | u ) und R ( u | f(u) ) bilden für u > 0 ein Dreieck. Berechnen Sie, für welchen Wert von u der Inhalt des Dreiecks maximal wird.

 

Mein Ansatz ist bisher diese Skizze:

Es gibt zwar auch eine Lösung zu der Aufgabe, diese ist aber sehr minimalistisch, sodass ich daraus nicht schlau werde..

Die Nebenfunktion ist ja klar, das ist die Funktionsgleichung f(x)..
Aber wie komme ich an die Funktion für den Flächeninhalt des Dreiecks, also die Zielfunktion?


MfG
Thomagedu

Answer 1

f(x) = e^{-x}·(2·x + 1)

A = 1/2·x·e^{-x}·(2·x + 1) = e^{-x}·(x^2 + 0.5·x)
A'(x) = e^{-x}·(- x^2 + 1.5·x + 0.5) = 0
x = 1.780776406

Skizze

Comments

Wie kommst du an die Formel für A? das ist mein hauptproblem bei der aufgabe..

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Dreiecksfläche ist 1/2 * g * h. Die Höhe ist hier x. Die Grundseite ist hier f(x).

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ach ja! ich hab das dreieck immer aus einer anderen perspektive betrachtet.. Danke, hat mir wirklich geholfen!

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Und warum ist die Höhe x und die Grundseite f(x)? Ist es nicht andersherum?

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Schau doch mal das Dreieck an. Was würdest du als Grundseite nehmen zum berechnen ?

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Die längste Seite also die, Welche die x-Achse schneidet

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Das ist nicht richtig, weil du zu der Grundseite keine Höhe findest. Grundseite und Höhe sollen senkrecht zueinander stehen.

Stell dir das also gedreht vor und nimm die dann waagerechte Seite als Grundseite

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Wie kann denn die kürzeste Seite die Grundseite sein?

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Könntest du vielleicht die Höhe in das Dreieck einmal einzeichnen damit ich es mir vorstellen kann?

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https://de.wikipedia.org/wiki/Höhe_(Geometrie)

sieht aus wie hc im Wikipedialink oben

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Ich hatte mir h so vorgestellt:

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Und das ist verkehrt, weil man g und h dann nur schwer berechnen kann.

Daher sieht das eher so aus

Answer 2

  Zu deinem Schlagabtausch mit dem Mathecoach fiel mir ein: Weißt du, was bei einem Dreieck eine ===> Scherung ist?
  Ich melde mich hier bloß deshalb zu Wort, weil ich für die Lösung des Problems ===> logaritmisches Differenzieren vorschlage.



     A  =  F  (  x  )  =  (  2  x  ²  +  x  )  exp  (  -  x  )      (  1  )

     ln  (  A  )  =  ln  (  2  x  ²  +  x  )  -  x



                                   4 x + 1
     A  '  /  A  =  0  =   ----------------------   -  1       (  2  )
                                  2  x  ²  +  x



       2  x  ²  -  3  x  -  1  =  0    |  MF     (  3  )

      x  (  max  )  =  1/4  [  3  +  sqr  (  17  )  ]     (  3  )