Ist Kotanges definiert für 90° (also Pi Halbe)?

Question

Ich bin gerade etwas irritiert. 

cot(x) ist definiert als cot(x) = 1 / tan(x) 

damit ist cot nicht definiert, sofern tan(x) = 0 ist. Also bei z. B. 0° (0*Pi) und 180° (1*Pi).

Jetzt lese ich hier im Buch den Definitionsbereich mit: 

y = cot x; x ∈ R \ { x | x = z*π ∧ z ∈ Z}; y ∈ R

heißt das nicht, dass x alle reellen Zahlen annehmen darf, außer vielfache von PI?

Klar, tan(pi) = tan(180°) = 0, damit cot(180°) = 1 / tan(180°) = 1 / 0. 

 

Aber was ist mit π/2, also 90°? Meiner Meinung nach: 

cot(90°) = 1 / tan(90°) = 1 / n.d. = n.d.

 

Stimmt die Angabe damit im Mathebuch nicht? Eins durch nicht definiert muss doch nicht definiert sein!

 

Comments

In der englischen Wikipedia findet man bei cot(0°) = ∞

und bei cot(90°) = 0

Verstehe ich auch nicht!

Answer 1

Eine sehr gute Frage!

Hier darfst du dich nicht an cot(x) = 1 / tan(x)  festhalten, denn die Definition besagt:

Das heißt, wenn du dir nur cot(x) = cos(x) / sin(x) betrachest, ist cot(x) dann nicht definiert, wenn sin(x) = 0 ist.

Bei sin(90°) = 1
→ Wahrscheinlich hat deswegen: cot(90°) = cos(90°)/sin(90°) = 0/1 = 0

 

Comments

Das liegt natürlich auch ganz anschaulich daran, dass der Tangens, je näher man an Pi/2 kommt, immer größer wird.

Teilt man 1 durch eine immer größer werdende Zahl, so nähert man sich immer mehr der 0 an.

 

Formal handelt es sich also um den Fall 1/∞=0

---

Müsste dafür nicht tan(90°) = ∞ definiert werden? Jedoch gilt tan(90°) = n.d.

Sonst würde gelten: tan(90°) = GK / 0 = ∞ und damit GK = ∞ * 0 ← unbestimmter Ausdruck

"Der Ausdruck 0 * ∞ ist undefiniert, er bezeichnet weder eine reelle Zahl, noch kann ihm das Symbol ∞ zugeordnet werden."

 

Tatsächlich findet man die Definition für Kotangens mit:

Woraus schließlich durch Ersetzen von AK mit cos(x) und GK mit sin(x) (vgl. Einheitskreis) folgt, dass cot(x) = 1 / tan(x) gilt.

Die Aussage cot(x) = 1 / tan(x) gilt meiner Meinung aber dann nicht, wenn Tangens nicht definiert ist, wie zum Beispiel bei x = 90°. An dieser Stelle muss man die "ursprüngliche" Definition cot(x) = AK/GK = cos(x) / sin(x) verwenden.

Eigentlich sollte dies in den Lehrbüchern bzw. auf Mathe-Webseiten vermerkt werden, um solche Irritationen zu vermeiden :)

---

Nach Rücksprache möchte ich zu diesem Thema noch Folgendes ergänzen:

Der Kotangens ergibt sich im Einheitskreis wie folgt (cot ist die lila gefärbte Linie in der Abbildung):

Der Kotangens ist also der x-Wert des Schnittpunktes der grauen Hypotenuse und der Parallelen y = 1. Er wandert mit kleiner werdendem Winkel (Winkel gegen Null) nach rechts weg und seine x-Koordinate wird dabei immer größer. Der Kotangens wird also immer länger, bis Unendlich, was keine vernünftige Zahl mehr ist.

Dies entspricht einem Teilen durch eine immer kleiner werdende positive Zahl, also einer Zahl, die sich der Null nähert. Wenn sie (der Divisor) Null erreicht, ist der Quotient keine richtige Zahl mehr, nur das Symbol ∞, weshalb hier in diesem Rahmen der Quotient 1/0 nicht definiert ist.

Man kann aber setzen:

und noch weitere Rechenregeln für dieses Symbol festlegen, was man auch macht, z. B. in der Maßtheorie.

 

---

Ich würde die Winkelfunktionen prinzipiell am Einheitskreis definieren

Tangens und Kotangens als Abschnitta auf ihren "Trägern".

x=1 ist der Tangensträger und y = 1 der Kotangensträger.

Die Identitäten zwischen den Winkelfunktionen gelten dann bei 90 Grad nur wenn für das Symbol ∞ Rechenregeln definiert sind, die auf keine Widersprüche führen.