Hesse-Normalform & den Lotvektor auf E bestimmen

Question

kann mir bitte jemand bei der aufgabe helfen?? :(

 

ich suche die hesse normalform der gleichung für eine ebene e und den Lotvektor vom nullpunkt auf e.

ich habe einen Punkt (1,0,2) der auf e liegt. meine richtungsvektoren sind (-2,2,1) und (4,1,3)

 

So, die hesse normalform berechne ich ja wie folgt: Normalenvektor*(Vektor - Ortsvektor) 

Der Normalenvektor ermittelt sich aus dem Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren der Ebene E (Ergebnis: (5, 10, -10))

(Stimmt das bis hier??)

für den ortsvektor nehme ich den Vektor zum Punkt P: OP = (1,0,2) ... und wie gehe ich dann weiter??? bitte bitte helft mir :D

Comments

ok- seh grad, hier hat jemand die gleich aufgabe gestellt...aber ist auch nicht weiter.

---

Der Normalenvektor stimmt. Wie ist dieser Vektor zum Lotvektor gerichtet?

---

weiss grad leider gar nicht was du meinst... :/

---

lotvektor ist der Vektor vom Nullpunkt auf die Ebene und dürfte parallel zum Normalenvektor sein...?? stimmt das?

Answer 1

Okay, du musst erstmal die Koordinatenform der Ebene aufstellen

Hier wurde dies bereits gemacht: 5*x1 + 10*x2 - 10x3 = -15

Der Lotvektor verläuft senkrecht (oder besser gesagt orthogonal) zur Ebene und der Normalenvektor, den wir schon bestimmt haben, verläuft ebenfalls orthogonal zur Ebene. Also, sind deren Richtungen gleich und du kannst für den Lotvektor den gleichen Richtungsvektor hernehmen wie für den Normalenvektor, sprich (5, 10, -10).

Der Lotvektor hat nun eine Richtung, aber damit kann man keinen Blumentopf gewinnen. Es fehlt zumindestens noch ein Punkt, der auf diesen Vektor liegt. Und ein Nullpunkt, durch den der Lotvektor gehen soll, ist ein ganz guter Punkt .-)

Also stelle die Gerade für den Lotvektor auf: h: Vektor(x) = (0,0,0) + t*(5,10, -10) = t*(5,10, -10) (Lothilfsgerade)

Da ich weiß, dass diese Gerade und die Ebene gemeinsame Sache machen können, setze sie in die Ebene ein und erhalte

5*(t*5) + 10*(t*10) - 10*(t*10) = -15

 25*t = -15

t = -3/5

Mit diesem t gehe in die Lotgerade und erhalte Vektor(x) = (-3,-6, 6). Der Betrag dieses Vektors ist dann die Strecke von der Ebene zum Nullpunkt  = √((-3)² + (-6)² + 6²) = 9

Comments

wow klasse, echt super erklärt!!! vielen lieben dank : ) aber fehlt da nicht noch etwas? oder "reicht" das als lösung?

---

Fehlt da nicht ein (-)?
Also statt: 5*(t*5) + 10*(t*10) - 10*(t*10) = -15 

wäre es: 5*(t*5) + 10*(t*10) - 10*(t*-10) = -15 

und damit ergibt sich für t=-(1/15) 

und für den Lotvektor: (-(1/3), -(2/3), (2/3))

 

Oder hab ich was übersehen? :)

---

Ja fehlt ein Minus, sorry.