Vollständige Induktion n<2^n

Question

Ich soll mittels vollständiger Induktion beweisen, dass n < 2ⁿ ist.

Mein Ansatz:
IA: n = 1 --> 1 < 2¹=2 -> wahr

IV: gilt für alle natürlichen Zahlen

IS: n-> n+1... zu zeigen: (n+1) < 2ⁿ⁺¹

 

Kann mir vielleicht jemand helfen, wie ich da jetzt weiterrechne?

 

LG, 

guest25

Answer 1

Hi,

 

2ⁿ⁺¹ = 2^n*2 > n*2 > (n+1)

also: 2^{n+1} > n+1

Wobei man aufpassen muss, dass die Abschätzung am Schluß erst für n > 1 gilt.

Haben aber beim Induktionsanfang ja schon gezeigt, dass das mit n = 1 auch passt.

 

Grüße

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