Schnittpunkte berechnen x² - 5x + 2 = 0

Question

ich hoffe sehr das mir jemand helfen kann :(

Ich habe folgende 2 Ausgangsgleichungen gehabt:

p(x) = -0,5x² + 2x + 1
g(x) = -0,5x + 2

Ausgerechnet wurde bei p(x)

Scheitelpunkt S(2|3)

Der wurde doch sicher mit der pq-formel berechnet, oder?

Achsenschnittpunkte:

Sx1 ( -0,45 | 0 )
Sx2 ( 4,45 | 0 )
Sy ( 0 | 1 )

Ich habe 0 Ahnung wie man die Achsenschnittpunkte berechnet, kann mir das bitte jemand verständlich sagen?

Bezüglich der Schnittpunkte, da bedeutet ja p(x) = g(x)

Womit man am Ende die Gleichung x² - 5x + 2 = 0 rausbekommt, richtig?

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Nun kann man damit ja die Schnittpunkte berechnen inden man die PQ-Formel für die Nullstellen benutzt, richtig? Damit hatte ich dann im Unterricht:

x1 = 4,6
x2 = 0,4

Was ich nun aber überhaupt nicht verstehe ist, dass wir bei den Schnittpunkten folgendes stehen haben:

S1 ( 0,44 | 1,78 )
S2 (4,56 | -0,28 )

Die 0,44 sieht mir wie 0,4 aus und die 4,56 wie 4,6 bloß nicht gerundet. Aber wenn man die PQ-Formel normal benutzt kommt man doch auf 4,6 und 0,4 oder? Würde es auch stimmen wenn ich statt 0,44 und 4,56 die 4,6 und 0,4 nehme?

Und wie kommt man danach auf die zweite Zahl? Also 1,78 und -0,28

Vielen Dank wenn mir jemand helfen kann :(

Answer 1

Scheitelpunkt S(2|3)

Der wurde doch sicher mit der pq-formel berechnet, oder?

Eher nicht. Mit der pq-Formel berechnet man Nullstellen, aber keine Scheitelpunkte. Den Scheitelpunkt des Graphen einer quadratischen Funktion bestimmt man, indem man den Fuktionsterm in die Scheitelpunktform

f ( x ) = a ( x - xs ) ² + ys

bringt und dann den Scheitelpunkt S ( xs | ys ) daraus abliest.

 

Ich habe 0 Ahnung wie man die Achsenschnittpunkte berechnet, kann mir das bitte jemand verständlich sagen?

Nun, der Schnittpunkt S_y mit der y-Achse hat ja die x-Koordinate 0 . Also setzt man einfach für x den Wert 0 in den Funktionsterm ein und rechnet den dazugehörenden y-Wert aus. Damit hat man die Koordinaten des Schnittpunktes mit der y-Achse.

In deinem Fall ergibt sich für die Funktion p ( x ) = - 0,5 x ² + 2 x + 1

p ( 0 ) = - 0,5 * 0 ² + 2 * 0 + 1 = 1

und somit ist : S_y ( 0 | 1 )

Die Schnittpunkte mit der x-Achse sind nichts anders als die Nullstellen der Funktion. diese kann man mit der pq-Formel berechnen, falls der Koeffizient des quadratischen Gliedes 1 ist, andernfalls mit der Mitternachtsformel.

 

Womit man am Ende die Gleichung x² - 5x + 2 = 0 rausbekommt, richtig?

Ja, das ist richtig.

 

Damit hatte ich dann im Unterricht:

x1 = 4,6
x2 = 0,4

Die exakten Nullstellen sind:

x1 = ( 1 / 2 ) * ( 5 - √ 17 ) ≈ 0,438445

x2 = ( 1 / 2 ) * ( 5 + √ 17 ) ≈ 4,5616

Je nachdem, wie man das rundet, kommt man auf die von dir genannten Werte.

 

Und wie kommt man danach auf die zweite Zahl? Also 1,78 und -0,28

Indem man die berechneten x-Werte in einen der beiden den Funktionsterme einsetzt und den Funktionswert y ausrechnet. Welche der beiden Funktionen man nimmt, ist egal, da ja der Schnittpunkt zu beiden gehört. Daher nimmt man tunlichst die einfacher zu berechnende Funktion, also g ( x ) = - 0,5 x + 2
Man erhält :

g ( x1 ) = g ( 0,438445 ) = - 0,5 * 0,438445 + 2 = 1,78

bzw.

g ( x2 ) = g ( 4,5616 ) = - 0,5 * 4,5616 + 2 ≈ - 0,28

Dieselben Ergebnisse würde man für p ( x1 ) bzw. p ( x2 ) erhalten.

Comments

Nun, der Schnittpunkt Sy mit der y-Achse hat ja die x-Koordinate 0 . Also setzt man einfach für x den Wert 0 in den Funktionsterm ein und rechnet den dazugehörenden y-Wert aus. Damit hat man die Koordinaten des Schnittpunktes mit der y-Achse.

In deinem Fall ergibt sich für die Funktion p ( x ) = - 0,5 x 2 + 2 x + 1

p ( 0 ) = - 0,5 * 0 2 + 2 * 0 + 1 = 1

und somit ist : Sy ( 0 | 1 )

Die Schnittpunkte mit der x-Achse sind nichts anders als die Nullstellen der Funktion. diese kann man mit der pq-Formel berechnen, falls der Koeffizient des quadratischen Gliedes 1 ist, andernfalls mit der Mitternachtsformel.


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Also würde ich jetzt -0,5x² + 2x + 1 mit der PQ-Formel (p = 2) ( q = 1) ausrechnen würde ich x1 = -0,45 und x2 = 4,45 rausbekommen?

Ist bei dem y-Wert der x-Wert immer 0?

Wenn ich -0,5 * 0² in den Taschenrechner eingebe, muss ich da das 0² in Klammern machen? Also -0,5 * (0²) ?



Und bezüglich den Werten mit 4,6 und 0,4 das wäre also auch richtig gewesen wenn ich das bei S1 und S2 eingesetzt hätte?

Um bei der 0,4 auf die 1,78 zu kommen, muss ich also einfach die 0,4 zum Beispiel in -0,5x + 2 für x einsetzen?

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Also würde ich jetzt -0,5x² + 2x + 1 mit der PQ-Formel (p = 2) ( q = 1) ausrechnen würde ich x1 = -0,45 und x2 = 4,45 rausbekommen?

Nein, das ist falsch. Hier kannst du die pq-Formel nicht anwenden, weil der Koeffizient des quadratischen Gliedes nicht 1 ist, sondern - 0,5 . Du musst erst die Gleichung

-0,5x ² + 2 x + 1 = 0

durch - 0,5 dividieren, dann erhältst du: 

1 x ² - 4 x - 2 = 0

Nun hat der Koeffizient des quadratischen Gliedes den Wert 1 und du kannst die pq-Formel mit p = - 4 und q = - 2 anwenden.

 

Wenn ich -0,5 * 0² in den Taschenrechner eingebe, muss ich da das 0² in Klammern machen? Also -0,5 * (0²) ?

Mit oder ohne Klammern ist egal, im  übrigen ist 0 ² = 0

Aber wozu willst du das überhaupt mit dem Taschenrechner ausrechnen?  Jedes Produkt, das einen Faktor 0 enthält, hat den Wert 0 , also:

- 0,5 * 0 = 0

 

Und bezüglich den Werten mit 4,6 und 0,4 das wäre also auch richtig gewesen wenn ich das bei S1 und S2 eingesetzt hätte?

Nun, für meinen Geschmack sind diese Zahlen zu grob gerundet, eine oder zwei Nachkommastellen mehr dürften es schon sein. Aber als grobe Näherung kann man diese Werte nehmen. Ob dein Lehrer damit einverstanden ist, weiß ich natürlich nicht.

 

Um bei der 0,4 auf die 1,78 zu kommen, muss ich also einfach die 0,4 zum Beispiel in -0,5x + 2 für x einsetzen?

So ist es :-)

Allerdings erhältst du mit x = 0,4 nicht 1,78 sondern 1,8 , also eben nur eine Näherung (siehe vorherigen Absatz)

Man sagt auch: "1,8 ist der Funktionswert von g ( x ) = - 0,5 x + 2 an der Stelle x = 0,4"