Question

Beweisen Sie mittels vollständiger Induktion:

1. Für alle natürlichen Zahlen \( n \in \mathbb{N} \) gilt:

\( \sum \limits_{k=0}^{n} \frac{k}{2^{k}}=2-\frac{n+2}{2^{n}}, \sum \limits_{k=1}^{n} \frac{1}{k} \leq 2 n \)

2. Für alle natürlichen Zahlen \( n \in \) N gilt:

4 teilt \( 5^{n}-1 \).

Answer 1

Aufgabe 1:

Die Beweismethode der vollständigen Induktion anwenden. Hauptsächlich nachdenken/rätseln und die Lösung dann nochmal ordentlich aufschreiben. Das ist Mathematik.

Aufgabe 2:

Induktionsanfang: 4 teilt 5^1 - 1

Induktionsvoraussetzung: Es gelte, dass 4 | 5^n - 1 für ein n aus N. Dann kann man 5^n - 1 als 4k ausdrücken:

$$5^n - 1 = 4k \Leftrightarrow 5^n = 4k + 1$$
Induktionsschritt:

$$5^{n+1} - 1 = 5^n \cdot 5 - 1 = (4k + 1) \cdot 5 - 1 = 20k + 5 - 1 = 20k - 4 = 4( 5k - 1 )$$
ist durch 4 teilbar.