Komplexe Zahlen skizzieren. Bsp. a. { z ∈ ℂ | |z - 1 | + | z +1 | < 4 }

Question

ich habe eine Aufgabe für euch:

 

Ich muss die folgende Mengen in der Komplexen Zahlenebene skizzieren

 

a. { z ∈ ℂ | |z - 1 | + | z +1 | < 4 }

b. { z ∈ ℂ | Im (( 1 - i) z ) = 0 }

c. { z ∈ ℂ | |z - 3 + 2i| = 4 }

d. { z ∈ ℂ | 1 < | z + 3i | < 2 }

 

 

Comments

Eine konkrete Frage bzw. eine Beschreibung davon, was du an der Aufgabe nicht verstanden hast, wäre schon gut.

Answer 1

Teilaufgaben c) und d) ist relativ einfach. a) und b) folgen im Kommentar

d. { z ∈ ℂ | 1 < | z + 3i | < 2 }

|z +3i| = |z- (-3i)| ist der Abstand der Zahl z von (-3i)

Nun soll der Abstand zwischen 1 und 2 sein.

Skizze: Menge liegt zwischen den beiden Kreisen (ohne Rand)

Analog kannst du c. { z ∈ ℂ | |z - 3 + 2i| = 4 } lösen.

|z-3+2i| = |z - (3-2i)| = 4

ist ein Kreis mit Radius 4 um die Zahl 3 - 2i     (drei nach rechts und 2 nach unten im Koordinatensystem) und dann dort den Zirkel mit dem richtigen Radius einstecken.

 

Comments

Auch bei a) kommt man mit dem Abstandbegriff von Betrag weiter.

a. { z ∈ ℂ | |z - 1 | + | z +1 | < 4 }

|z-1| ist der Abstand von der Zahl 1.

|z+1| ist der Abstand von der Zahl -1.

Bei |z - 1 | + | z +1 | = 4 ist die Summe der Abstände von 2 Punkten ist konstant. Es resultiert in der Ebene eine Ellipse. Die Hauptachsen liegen auf der reellen und der imaginären Achse.
Du kannst dir leicht überlegen, dass 2 und -2 auf der Ellipse liegen (1+3)=4
Zudem ist nach Pythagoras √(2^2-1^1) = √3 die länge der halben Hauptachse in imaginärer Richtung.
√3 i und -√3 i liegen auf der Ellipse. Jetzt eine Ellipse durch die 4 Punkte skizzieren.

Für  |z - 1 | + | z +1 | < 4 das Gebiet innerhalb der Ellipse (ohne Rand) markieren.

 

b. { z ∈ ℂ | Im (( 1 - i) z ) = 0 }

Multipliziert man z in der komplexen Zahlenebene mit einer Zahl a. So wird der Betrag von z mit dem Betrag von a multipliziert und der 'Winkel' von a zum Winkel von z addiert.

Hier ist a = 1-i. |a| = √(1^2 + 1^2) = √2. Winkel von a ist - 45°.

Nun soll der Imaginärteil der resultierenden Zahl 0 sein. Gesucht sind deshalb alle Zahlen der komplexen Zahlenebene, die bei einer Drehung um - 45° auf die reelle Achse zu liegen kommen. 

 { z ∈ ℂ | Im (( 1 - i) z ) = 0 } ist die Gerade durch 0, 1+i, -1-i, …

Anmerkung: Wenn ich hier von Zahlen in der komplexen Zahlenebene schreibe, meine ich auch mal den Vektor von 0 zur entsprechenen Zahl.

 

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Zu b)

Warum ist der Winkel von a = -45° ? Wie kommt man darauf?