Skalarproduke Beweisen eines Polynoms

Question

Wir betrachten den Vektorraum \( P_{2} \) aller Polynome vom Grad \( \leq 2 . \) Es sei \( p(x)=a_{0}+a_{1} x+a_{2} x^{2} \) und \( q(x)=b_{0}+b_{1} x+b_{2} x^{2} \)

(a) Zeigen Sie, dass durch
$$ \langle p(x), q(x)\rangle= a_{0} b_{0}+a_{1} b_{1}+a_{2} b_{2} $$ein Slalarprodukt in \( P_{2} \) definiert wird.\\

(b) Zeigen Sie, dass durch
$$ \langle p(x), q(x)\rangle= p(0) q(0)+p(1) q(1)+p(2) q(2) $$
ebenfalls ein Skalarprodukt in \( P_{2} \) definiert wird.
(c) Zeigen Sie, dass die Vektoren \( \left\{1, x, x^{2}\right\} \subseteq P_{2} \) bezüglich des Skalarprodukts aus Teilaufyabe a ) eine Orthogonalbasis von \( P_{2} \) darstellen. Zeigen Sie weiter, dass diese Voktoren bezüglich des Skalarprodukt aus Teilaufgabe b) keine Orthogonalbasis darstellen.

Ich bin die fünf Axiome der Skalarprodukte durchgegangen, stelle mich doch sehr schwer Sie vollständig oder gar richtig zu beantworten. Ich würde mich freuen, wenn mir jemand Unterstützung leisten könnte.

Answer 1

Ich mache mal den allgemeinen Beweis

Im Vektorraum P2 aller reellen Polynome vom Grad ≤ 2  wird ein Skalarprodukt mit den hier vorliegenden Polynomen p(x) und q(x) erklärt durch

(p(x), q(x)) = ∫₀¹ p(x)*q(x) dx

Nun müssen wir zeigen, dass  die einzelnen Eigenschaften (Symmetrie, Bilinearität und positive Definitheit) des Skalarproduktes erfüllt sind.

1. Symmetrie (hier: (p(x), q(x)) = (q(x), p(x)))

Hier Nutzen wir die Multiplikation aus: (p(x), q(x)) = ∫₀¹ p(x)*q(x) dx =  ∫₀¹ q(x)*p(x) dx = (q(x), p(x)) -> erfüllt

2. Bilinearität

Um zu zeigen, dass die Abbildung bilinear ist, nutzen wir die Linearität des Integrals:

(p1(x) + p2(x), q(x)) = ∫₀¹ (p1(x) + p2(x))*q(x) dx = ∫₀¹ (p1(x)*q(x) + p2(x)*q(x)) dx = ∫₀¹ p1(x)*q(x) dx + ∫₀¹ p2(x)*q(x) dx = (p1x),q(x)) + (p2(x),q(x))

Analog kann man auch zeigen: (p(x), q1(x) + q2(x)) = (p(x),q1(x)) + (p(x),q2(x))

Weiterhin gilt (λ p(x), q(x)) = ∫₀¹ λ p(x)*q(x) dx = λ ∫₀¹ p(x)*q(x) dx = λ (p(x),q(x))

Analog gilt ebenso: (p(x),(λ q(x)) = λ (p(x),q(x))

Damit ist insgesamt gezeigt, dass die Abbildung bilinear ist.

3. Positive Definitheit

(p(x), p(x)) =  ∫₀¹ p(x)*p(x) dx =  ∫₀¹ p²(x) dx ≥ 0

Diese Ungleichung (.... > 0) gilt bei Integration der nichtnegativen Funktion.

Nun müssen wir abschließend zeigen, dass (p(x), p(x)) = 0 ist. Gesetzt den Fall, das p(x) ≠ 0 ist, dann müsste einer der Koeffizienten im Polynom ungleich Null sein. Dies hätte zur Folge, dass das Skalarprodukt auch ungleich Null wird, was zu einem Widerspruch führt. Also muss gelten p(x) = 0.

Somit ist auch die dritte Eigenschaft des Skalarproduktes erfüllt.

Comments

Wofür ist das ein allgemeiner Beweis? Nach dem von dir definierten Skalarprodukt ist nicht gefragt.

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Das ist mehr oder weniger eine Ansatzhilfe. Man muss im Grunde immer zeigen, dass die drei Eigenschaften erfüllt sind.

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zu a)  Wenn man sich das Skalarprodukt genauer ansieht, erkennt man, dass es aus den konstanten Gliedern von p(x) und q(x) gebildet wurde.

Symmetrie (p(x),q(x) = a0*b0 + a1*b1 + a2*b2 = b0*a0 + b1*a1 + b2*a2 = (q(x),p(x)) -> erfüllt

Bilinearität:

(p(x + c), q(x)) = (a0 + c0)*b0 + (a1 + c1)*b1 + (a2 + c2)*b2 = a0*b0 + a1*b1 + a2*b2 + b0*c0 + b1*c1 + b2*c2 = (p(x), q(x)) + (q(x), p(c)) -> erfüllt;

analog kann man zeigen (p(x), q(x+c)) = a0*(b0 + c0) + a1*(b1 + c1) + a2*(b2 + c2) = (p(x),q(x)) + (q(x), p/c)) -A erfüllt

und (p(x), λ q(x)) = a0 *λ*bo + a1*λ*b1 + a2* λ*b2 =   λ*(a0*b0 + a1*b1 + a2*b2) = λ (p(x),q(x)) bzw.

(p(x), λ q(x)) =  λ*a0*b0 +  λ*a1*b1 + λ*a2*b2 = (λ p(x), q(x))

Insgesamt ist diese Eigenschaft erfüllt.

Positive Definitheit:

(p(x), p(x)) = a0*a0 + a1*a1 + a2*a2 = (a0)² + (a10)² + (a2)² ≥ 0

Der Ausdruck (a0)² + (a1)² + (a2)² ist immer größer Null und genau dann Null, wenn a0 = a1 = a2 = 0 ist.