Wendepunkte im Sachzusammenhang

Question

ich bin gerade ziemlich am Verzweifeln. Mir bereiten die Wendepunkte im Sachzusammenhang ziemliche Kopfschmerzen. Ich weiß, dass Wendepunkte Punkte mit extremaler Steigung sind, mir fällt es aber sehr schwer, diese im Sachzusammenhang zu interpretieren. Sagen wir mal, ich habe eine Funktion gegeben, die die Besuchermenge im Freizeitpark im Verlauf eines Tages angibt. Dazu ist dann auch der Definitionsbereich angegeben (Bsp.: von 8 Uhr morgens bis 18 Uhr abends). Ich soll den WP berechnen und interpretieren. Sagen wir mal, rechnerisch würde er bei ca. 12 Uhr liegen. Dann weiß ich doch noch nicht, ob da die Besucherzunahme oder die Besucherabnahme am größten ist, oder? Wie untersuche ich das dann? Muss ich dazu dann nur wissen, ob ein Links-Rechts-WP vorliegt (also maximale Zunahme) oder halt R-L-WP oder wie kann ich das angeben?
Und noch was ganz wichtiges, muss ich dann nicht IMMER auch noch die Randstellen überprüfen?
Wäre super, wenn mir jemand helfen könnte. Ich bin gerade ziemlich verwirrt...:)

Answer 1

Zu Wendepunkten ließe sich eine Menge sagen. Deshalb hier nur bezogen
auf deine Frage.

" Dann weiß ich doch noch nicht, ob da die Besucherzunahme oder die
Besucherabnahme am größten ist, oder? Wie untersuche ich das dann? "

Setze den gefundenen x-Wert für den Wendepunkt in die 1.Ableitung ein.
Ist die Steigung positiv  ist dies ein Punkt mit einer Besucherzunahme.
Ist die Steigung negativ  ist dies ein Punkt mit einer Besucherabnahme.

Bei Fragen wieder melden.

mfg Georg

Comments

Tausend Dank für deine Hilfe.......:)

Also heißt das ja dann eigentlich, dass ich die Wendestelle immer in die 1. Ableitung einsetzen muss, um eine ganz sichere Interpretation zu machen, oder? Obwohl es doch dann nicht notwendigerweise eine größte Abnahme sein muss, oder? Auch ein Tiefpunkt in der ersten Ableitung kann ja positiv sein, oder nicht?
Und wie sieht das mit den Randstellen aus? Die muss ich doch eigentlich auch immer noch prüfen, oder? Bsp.: Berechne den Wendepunkt und interpretiere diesen im Sachzusammenhang. Bsp.: x = 2

Dann f´(2) = 5
Also Besucherzunahme um 2 Uhr oder hier um 10 Uhr am größten. Aber das kann ich doch, ohne zuvor die Randstellen des Definitionsbereiches untersucht zu haben, noch gar nicht sicher sagen, oder?

Danke nochmal für deine Hilfe.

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Bitte teile mir einmal die Ausgangsfunktion mit. mfg Georg

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Hi. Sorry, ich habe momentan keine im Kopf. Ich stolpere nur gerade immer wieder grundsätzlich bei solchen Aufgaben und frage mich, was denn ein R-L-WP im Sachzusammenhang bedeutet. Wenn ich einen Tiefpunkt in der ersten Ableitung habe, bedeutet das ja, dass dort die Steigung minimal ist. Aber sie muss ja nicht notwendig negativ sein. Ich weiß einfach gerade nicht, was das dann bedeuten soll. Beispielsweise bei einer Funktion, die die Besucher bzw. die Personenzahl im Lokal angibt. Sorry. Aber danke dir nochmal....

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Leider muß ich vermuten das bei dir noch einiges durcheinander ist.
1.Ableitung ergibt die Funktion der Steigung einer Kurve.
Ist die Ableitung an einer Stelle 0, ist dort keine Steigung.
Dies ist ein Extrempunkt ( Hoch- oder Tiefpunkt ) einer Kurve.
Dazwischen liegen Wendepunkte.
2.Ableitung 0 ist ein Wendepunkt.
in einem Hochpunkt ( bitte mal vorstellen ) ist die Kurve nach oben
gewölbt ( Berggipfel, Rechtswölbung ). In einem Tiefpunkt geht
die Kurve wieder nach oben ( Talpunkt, Linkswölbung ).

Zwischen einem Hochpunkt ( Rechtswölbung ) und einem
Tiefpunkt ( Linkswölbung ) liegt der Wendepunkt. Krümmung = 0.
In diesem Fall ist der Wendepunkt ein Rechts-Links.

  Gern kannst du in einem neuen Thread eine Funktionsgleichung
einmal angeben und dir die Extrem- und Wendepunkte einmal
bestimmen lassen.

  mfg Georg

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Hi. Sorry, vielleicht habe ich mich etwas umständlich ausgedrückt.
Wenn ich einen Tiefpunkt in der ersten Ableitung habe, bedeutet das ja, dass meine Ursprungsfunktion dort einen Wendepunkt hat und zwar einen rechts-links-Wendepunkt. Rechts-Links-WP bedeutet ja, dass dort die Steigung minimal ist.

Aber sie muss ja nicht notwendig negativ sein. (Bsp.: Funktion, die nur steigt und von einer Rechts- in eine Linkskurve übergeht). Das würde ja bedeuten, dass die Steigung dort von bspw. m=10 in m=3 und im WP in m=1 und danach wieder in m=4 etc. übergeht. Wie kann ich denn, ohne das genau zu wissen, eine Aussage über den Sachzusammenhang tätigen.

Sonst würde man ja sagen können, dass bei einem R-L-WP die Funktion im WP die minimalste Steigung hat und z.B. die Besucherzahlen am stärksten abnehmen. Oder bedeutet das, dass sie im Wendepunkt (R-L-WP) am geringsten zunehmen??

Tausend Dank für deine Hilfe

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" Wenn ich einen Tiefpunkt in der ersten Ableitung habe, bedeutet das ja,
dass meine Ursprungsfunktion dort einen Wendepunkt hat und zwar
einen rechts-links-Wendepunkt. Rechts-Links-WP bedeutet ja, dass dort
die Steigung minimal ist. "

 

Die Skizze zeigt dir die 1.Ableitung ( Steigung ) einer x-beliebigen Funktion. Die Ableitungs-
funktion hat 2 Tiefpunkte. Dies sind Wendepunkte der Ursprungsfunktion. Beim linken
Punkt liegt die Steigung bei m = 3 ( Ursprungsfunktion dort steigend ); beim rechten Punkt
ist m = -4 ( Ursprungsfunktion dort fallend ).
Die Skizzen darunter zeigt dir die Punkte in der Ursprungsfunktion. Beides sind R-L-Wende-Punkte.

" Sonst würde man ja sagen können, dass bei einem R-L-WP die Funktion im WP die minimalste Steigung hat und z.B. die Besucherzahlen am stärksten abnehmen. Oder bedeutet das, dass sie im Wendepunkt (R-L-WP) am geringsten zunehmen?? "
Der linke Punkt ist mit m = 3 ein lokaler Tiefpunkt, die Funktion nimmt dort am geringsten zu.
Der rechte Punkt ist auch ein lokaler Tiefpunkt mit m = -4, die Funktion nimm dort am
stärksten ab.

  Jetzt komme ich zurück auf meine 1.Orginalantwort. Du kannst durch Einsetzung
des x-Werts des Wendepunkts ( 2.Ableitung = 0 ) in die 1.Ableitung f ´( x ) entscheiden
ob die Funktion am Wendepunkt zunimmt oder abnimmt

- ist der Funktionswert der 1.Ableitung   f ´ ( x_wendepunkt ) > 0 steigt die Funktion dort
  ( Besucherzahlen steigen )
 
- ist der Funktionswert der 1.Ableitung   f ´ ( x_wendepunkt ) < 0 fällt  die Funktion dort
  ( Besucherzahlen abnehmend )

Das Ganze ist für dich leicht verwirrend. Aber mit zunehmendem Aufgabenrechnen wirst
du sicherer werden.

Mathematisch kann das, was hier in Worten doch nur relativ langwierig
beschrieben wird, recht kurz zusammengefaßt werden
f ( x ) Ursprungsfunktion
f ´( x ) 1.Ableitung
f ´´ ( x ) 2.Ableitung
2.Ableitung zu 0 setzen ( Wendepunkte )
f ´´ ( x ) = 0   =>  führt zu x_w
x_w in die 1.Ableitung einsetzen
ist  f ´( x_w )  > 0 dann ist die Funktion im Wendepunkt steigend
ist  f ´( x_w )  <  0 dann ist die Funktion im Wendepunkt fallend

Bei Fragen wieder melden.

mfg Georg

 

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Tausend tausend Dank.

Genau die beiden WP meinte ich.

Jetzt nochmal zusammengefasst. Bedeutet das für eine Sachaufgabe, in der ich den WP berechnen und interpretieren muss:

1. Bestimmung des Wendepunktes

2. Schauen, ob R-L-WP, oder L-R-WP

3. Einsetzen der Wendestelle in die 1. Ableitung um zu überprüfen, ob diese positiv oder negativ ist.

4. Interpretation: R-L-WP mit positiver Steigung bedeutet: Besucherzunahme ist am geringsten. R-L-WP mit negativer Steigung bedeutet: Besucherabnahme ist am stärksten.

L-R-WP mit positiver Steigung: Besucherzunahme ist am stärksten. L-R-WP mit negativer Steigung bedeutet: Besucherzunahme nimmt am geringsten ab?


Also muss ich immer 2. und 3. überprüfen? Nur mithilfe der Kenntnis von R-L-WP oder L-R-WP kann ich noch keine genaue Aussage über den Sachzusammenhang machen, oder?


'Vielen Vielen Dank für deine Hilfe

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Von meinem Standpunkt verzettelst du dich momentan in
diese Aufteilung in L-R- oder R-L-Wendepunkte.
Ich habe diese noch nie bei Kurvendiskussionen gebraucht.

Deine Punkte 2. und 4. habe ich bisher noch nie durchgeführt:
Ich gehe nach Punkt 1 und 3 vor.

Das Ganze fällt unter den Begriff " Kurvendiskussion ".
Unter Kurvendiskussion versteht man
Bestimmung des Definitionsbereichs, Lösungsbereich,
Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen, Extremstellen,
Monotonie ( von wo bis wo fallend oder steigend ),
Wendepunkte usw.
Äußerst hilfreich ist die frühzeitige Erstellung einer Skizze
mit den bereits gewonnenen Erkenntnissen. Dies erleichtert
die Angelegenheit ungemein.
( man kann auch einen Funktionsplotter benutzen, oben rechts
auf dieser Seite findest du einen solchen ).

Zur Förderung deiner Mathe-Kenntnisse ( Differential- Integralrechnung )
empfehle ich dir die Seite

http://www.abiturloesung.de/

Dort findest du Abituraufgaben, Lösungen und Videos mit den Unterrichts-
stunden in denen die Arbeiten besprochen werden.

Und immer schön üben.

mfg Georg