Schnittwinkel berechnen

Question

Hallo

Wie kann ich denn Schnittwinkel von Graph f und g berechnen?

f(x) = (2x+1) e^{(-1/2 * x)}     g(x)= e ^{(-1/2 * x)}

Answer 1

Berechne zunächst den Schnittpunkt von f und g und dann die Tangentensteigungen von f und g in diesem Punkt.

f ( x ) = g ( x ) 

<=> ( 2 x + 1 ) e ^{- 1 / 2 x} = e ^{- 1 / 2 x}

Beide Seiten durch e ^{- 1 / 2 x} dividieren:

<=> 2 x + 1 = 1

<=> 2 x = 0

<=> x = 0

Die x-Koordinate des Schnittpunktes ist also x_s = 0

Die y-Koordinate y_s findet man durch Einsetzen der x-Koordinate in eine der beiden Funktionsgleichungen (ich nehme g ( x ) ) :

y_s = g ( 0 ) = e ^{- 1 / 2 * 0} = 1

Somit hat der Schnittpunkt die Koordinaten

S ( x_s | y_s ) = ( 0 | 1 )

 

Die Tangentensteigungen m_f von f bzw. m_g von g in diesem Punkt sind die Funktionswerte der jeweiligen ersten Ableitungen, also: 

f ' ( x ) = 2 * e ^{- 1 / 2 x} + ( 2 x + 1 ) * ( - 1 / 2 ) * e ^{- 1 / 2 x}

=> m_f = f ' ( x_s ) = f ' ( 0 ) = 2 + 1 * ( - 1 / 2 ) = 1,5

g ' ( x ) = ( - 1 / 2 ) * e ^{- 1 / 2 x}

=> m_g = ( - 1 / 2 )

 

Für den Winkel alpha der Tangenten an f im Punkt S zur Horizontalen gilt nun:

tan ( alpha ) = m_f

<=> alpha = arctan ( m_f ) = arctan ( 1,5 ) ≈ 56,3 °

Für den Winkel beta der Tangenten an f im Punkt S zur Horizontalen gilt:

tan ( beta ) = m_g

<=> beta = arctan ( m_g ) = arctan ( -1 / 2 ) ≈ - 26,6 °

 

Somit ergibt sich der Schnittwinkel gamma der Grpahen von f und g zu:

gamma = alpha - beta = 56,3 ° - ( - 26,6 ° ) = 82,9 °

 

Dies ist der kleinere der beiden Schnittwinkel. Der größere Schnittwinkel delta ergibt sich, indem man rechnet:

delta = ( 360 - 2 * gamma ) / 2 = 180 - gamma = 97,1 °

 

Hier ein Schaubild der Graphen von f (blau) und g (rot).

Eingezeichnet sind weiterhin die Tangente an f (violett) im Punkt S ( 0 | 1 ) sowie die Tangente an g (grün) in diesem Punkte.

Man kann die Winkel zwischen den Tangenten am Bildschirm nachmessen und erhält (je nach Abbildungsgenauigkeit des Bildschirms) in etwa die berechneten Werte.