Extrempunkte berechnen f(x)= x^2 * √(x+2)

Question

Wir betrachten die Funktion f:[-2,0] nach R mit f(x)= x^2 Wurzel(x+2)

bestimmen Sie das globale Maximum und das globale Minimum von f.
Ich weiß, dass ich die Ableitung f'(x) Null setzen muss und danach die Randpunkte -2 und 0 in f einsetzen. Aber bekomme da keine Ergebnisse raus.
Ist die Ableitung denn: 2x*wurzel(x+2) + x^2 * 1/(x+2) ?

Answer 1

Die Ableitung ist nach Produktregel

$$(x^2)'\sqrt{x+2} + (\sqrt{x+2})'x^2 = 2x \sqrt{x+2} + \frac{1}{2\sqrt{x+2}}x^2$$

Diese jetzt nullsetzen und dann entweder auf Vorzeichenwechsel überprüfen oder f'' berechnen und an den Nullstellen überprüfen.

Answer 2

f(x)= x² * √(x+2)

Hier muss man die Produktregel anwenden:

u = x²  -> u' = 2*x

v = √(x+2) = (x+2)^1/2  -> v' = 1/2 *(x+2)^1/2-1 *1 = 1/(2*√(x+2))

f'(x) = u*v' + v*u' =  x² *1/(2*√(x+2)) + [√(x+2)] * (2*x) = x² /(2*√(x+2)) + 2*x*√(x+2)

Notwendiges Kriterium für Extrema: x² /(2*√(x+2)) + 2*x*√(x+2) = 0 > | *2*√(x+2)

x²  + 2*x*√(x+2) *2*√(x+2) = 0

x²  + 4*x*(x+2) = 0

x²  + 4*x² + 8x = 0

5x²+ 8x = 0

x*(5*x + 8) = 0

x_E1 = 0 oder 5*x + 8 = 0 -> x_E2 = - 8/5 und die liegen im Intervall [-2,0]

Man kann mit der zweiten Ableitung zeigen, dass bei x_E1 ein Minimum und bei x_E2 ein Maximum vorliegt.

Comments

wie kann man zeigen dass die Funktion ein globales Maximum und minimum besitzt?

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Betrachtet soll ja nur das Intervall [-2 bis 0]. Und da dort nur ein lokales Minimum und ein lokales Maximum auftritt, fallen diese mit den globalen Extrema zusammen.