Integration von gebrochen rationaler Funktion

Question

Ich soll diese Funktion integrieren: f(x) = (x^2-5x)/(2x-4)

Ich hab erstmal eine Polynomdivision durchgeführt und bin dann bei f(x) = 0,5x-1,5-(6)/(2x-4) gelandet.
Die ersten beiden Teile, also 0,5x und 1,5 sind ja kein Problem. Allerdings klappt es beim Bruch nicht so richtig. In der Schule haben wir gelernt, dass der Zähler die Ableitung des Nenners sein muss, also hab ich einfach geschrieben:
f(x) = 0,5x-1,5-3*(2)/(2x-4)
Integriert:

F(x) = 0,25x^2-1,5x-3*ln(2x-4)

Wenn ich jetzt zur Überprüfung für x = 3 festlege, kommt allerdings ein anderer Wert raus, als in  meiner vorgegebenen Lösung. Was habe ich denn falsch gemacht?

Comments

... nein meine überlegungen waren falsch. Vergiss die schnell wieder

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Ok, in der Lösung lautet der Bruch (3)/(x-2), dann haben die einfach die 3 vorm Bruchstrich geschrieben und eben per Ln integriert. Aber warum haben die mir 2 gekürzt, ist doch kein Produkt?!

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Wenn ich ehrlich bin würde ich das auch so wie Du machen mit dem ln..  ich will dir nichts falsches erklären, deshal hab ich auch mein Kommentar geändert. Warte lieber auf andere:) (bin noch in der Realschule deshalb)

Answer 1

Aus Summen können wir ausklammern und dann kürzen.

f(x) = (x^2 - 5·x)/(2·x - 4) = 0.5·x - 1.5 - 6/(2·x - 4) = 0.5·x - 1.5 - 6/(2·x - 4) = 0.5·x - 1.5 - 6/(2·(x - 2)) = 0.5·x - 1.5 - 3/(x - 2)

F1(x) = 0.25·x^2 - 1.5·x - 3·LN(x - 2)

Du kannst aber auch integrieren wie du es gemacht hast

f(x) = 0.5·x - 1.5 - 3·2·/(2·x - 4)

F2(x) = 0.25·x^2 - 1.5·x - 3·LN(2·x - 4)

Achtung die Stammfunktionen sehen verschieden aus, unterscheiden sich aber nur in einer Konstante.