Integration rationaler Funktionen, Partialbruchzerlegung

Question

Aufgabe: Ich soll wieder die Stammfunktion der rationalen Funktion bestimmen. Ich habe die Partialbruchzerlegung bestimmt, nur die Stammfunktionen haben mir wieder Schwierigkeiten bereitet. Ich habe zwar die Stammfunktion bestimmt, aber mein Ergebnis stimmt mit der Lösung nicht überein und ich kann‘s nicht nachvollziehen. Könnte jemand mal einen Blick werfen und meine Fehler korrigieren?

Problem/Ansatz:

\( x \mapsto \frac{60}{\left(x^{2}+9\right)(x-1)} \).

\( \begin{array}{l}x \mapsto \frac{60}{\left(x^{2}+9\right)(x-1)}=\frac{A x+B}{x^{2}+9}+\frac{C}{x-1} \\ 60=(A x+B)(x-1)+c\left(x^{2}+9\right) \\ x=1 \Rightarrow 60=10 c \Leftrightarrow c=6 \\ x=0 \Rightarrow 60=-B+9 C \\ 60=-B+54 \\ B=-6 \\ 0 x^{2}+O x+60=A x^{2}+B x-4 x-B+C x^{2}+9 C \\ 0 x^{2}+0 x+60=(A+C) x^{2}+(B-A) x-B+90 \\ A+C=0 \quad B-A=0 \\ A+6=0 \quad-A=6 \\ \stackrel{A=-6}{A=-6} \\\end{array} \)

\( \begin{array}{l} \frac{60}{\left(x^{2}+9\right)(x-1)}=\frac{-6 x-6}{x^{2}+9}+\frac{6}{x-1} \\ \frac{60}{\left(x^{2}+9\right)(x-1)}=\frac{-6 x}{x^{2}+9}-\frac{6}{x^{2}+9}+\frac{6}{x-1} \\ \int \frac{-6 x}{x^{2}+9}=\frac{1}{9} \cdot \frac{(-6 x)}{\frac{x^{2}}{9}+1}=\frac{1}{9} \cdot \frac{(-6 x)}{\left(\frac{1}{3}\right)^{2}+1} d x \\ \begin{array}{l} u=\frac{x}{3} \\ \frac{d u}{d x}=\frac{1}{3} \\ d u=\frac{1}{3} d x \\ d x=3 d u \end{array} \\ =\int \frac{1}{9} \cdot \frac{(-6 x)}{u^{2}+1} \cdot 3 d u=\int \frac{-2 x}{u^{2}+1} d u \\ = \end{array} \)
Stammfkt.: \( -2 \arctan \left(\frac{x}{3}\right) \)

Comments

zur Kontrolle:

https://www.integralrechner.de/

Answer 1

Aloha :)

Bis zur Partialbruchzerlegung ist alles gut:$$I=6\int\frac{1}{x-1}\,dx-3\int\frac{2x}{x^2+9}\,dx-\pink{\int\frac{6}{x^2+9}\,dx}$$Ich habe beim mittleren Integral noch den Faktor \(3\) nach vorne gezogen, damit auch dein Leerer sieht, dass im Zähler die Ableitung des Nenners steht. Die Substitution für das pinke Integral hast du auch korrekt durchgeführt. Das kannst du aber auch kürzer schreiben:$$\int\frac{6}{x^2+9}\,dx=\int\frac{1}{\frac{x^2}{9}+1}\cdot\frac{6}{9}\,dx=2\int\frac{1}{\left(\frac x3\right)^2+1}\cdot\frac{1}{3}\,dx=\pink{2\int\frac{1}{1+\left(\frac x3\right)^2}\,d\left(\frac x3\right)}$$

Damit ist die Stammfunktion nun klar:$$I=6\ln|x-1|-3\ln|^2+9|-\pink{2\arctan\left(\frac x3\right)}+\text{const}$$

Deine Lösung ist sehr unübersichtlich konvertiert worden, aber sie scheint zu stimmen ;)

Comments

Vielen Dank für deine Rückmeldung Tschakabumba! :)

Answer 2

Warum schreibst du in deiner dritten Zeile x=1?

Für x=1 ist die Funktion undefiniert.

Deine PBZ ist allerdings richtig:

6/(x - 1) - (6 (x + 1))/(x^2 + 9)

Wenn im Zähler die Ableitung des Nenners (oder ein Vielfaches der Ableitung des Nenners) steht, ist die Stammfunktion kein arctan, sondern der natürliche Logarithmus des Nenners.

\( \frac{-6x}{x^2+9}= -3\cdot \frac{2x}{x^2+9}\). Eine Stammfunkton ist also (-3)ln(x^2+9).

Comments

Okay, ich habs :) Ich lade die korrigierte rechnung sicherheitshalber mal hoch.

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Hab nun die Partialbruchzerlegung erneut bestimmt . Also ich habe nicht von jeder Funktion die Stammfunktion bestimmt, nur die mit arctan. Ich hoffe das passt so. Ist die PBZ so richtig?

\( \begin{array}{l}\frac{1}{90}=a_{0}=(4 x+8)(x-1)+c\left(x^{2}+9\right) \\ \begin{array}{l}0 x^{2}+0 x+60=A x^{2}+B x-A x-B+C x^{2}+g C \\ 0 x^{2}+O x+60=(A+C) x^{2}+(B-A) x-B+9 C\end{array} \\ A+C=0 \quad B-A=0 \\ \begin{aligned} A & =-C \\ C & =-A \Rightarrow C=+6\end{aligned} \quad B=A \Rightarrow B=-6 \\ 60=-B+9 C \\ 60=-A-9 A \\ 60=-10 A \Leftrightarrow A=-6 \\ \frac{-6 x-6}{x^{2}+9}+\frac{6}{x-1}=\frac{-6 x}{x^{2}+9}-\frac{6}{x^{2}+9}+\frac{6}{x-1} \\ \int-\frac{6 x}{x^{2}+9} d x=\int-3 \cdot \frac{2 x}{x^{2}+9} d x=-3 \ln \mid x^{2}+91 \\ \int-\frac{6}{9} \cdot \frac{1}{\frac{x^{2}}{9}+1} d x=\int-\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{\left(\frac{x}{3}\right)^{2}+1} d x \\ \mu=\frac{x}{3} \quad \| \int-\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{u^{2}+1} \cdot z d u \\ \begin{array}{l}\frac{d u}{d x}=\frac{1}{3} \\ d u=\frac{1}{3} d x\end{array}=\int-2 \cdot \frac{1}{\mu^{2}+1} d u= \\ \begin{aligned} d x=3 d u \mid & =-2 \arctan (u)= \\ & =-2 \arctan \left(\frac{x}{3}\right)=\end{aligned} \\ =-2 \arctan \left(\frac{x}{3}\right) \\\end{array} \)