sind die abbildungen linear?

Question

Welche der folgendefür dieAbbildungen sind linear? Bestimmen Sie gegebenen- falls Basen von Kern und Bild.

(i) R2 → R2, (x1, x2) 7→ (x1 + 2,x1 + 2x2).

(ii) R4 → R, (x1,x2, x3, x4) 7→ x3.

(iii) R2 → R, (x1,x2) 7→ x1x2.

(iv) R2 → R3, (x1, x2) 7→ (x2 − x1,x1 − x2,0).


Schonmal vielen dank für die hilfe

Comments

Hat denn keiner hier eine ahnug?

Answer 1

(i)

Seien \(x, x'\) aus \(\mathbb{R}^{2}\), dann ist \((x+x')\mapsto (x_{1}+x_{1}'+2, x_{1}+x_{1}'-2(x_{2}+x_{2}'))\neq (x_{1}+2, x_{1}+2x_{2})+(x_{1}*+2, x_{1}'+2x_{2}')=(x_{1}+x_{1}'+4, x_{1}+x_{1}'+2(x_{2}+x_{2}'))\)

also nicht linear
(ii)

Offensichtlich linear \((x+x')\mapsto x_{3}+x_{3}'\) mit Bild \(\mathbb{R}\) Basis \(\left<1\right>\) und Kern \(\left<(1,0,0,0), (0,1,0,0), (0,0,0,1)\right>\)

(iii)

\((x+x')\mapsto (x_{1}+x_{1}')(x_{2}+x_{2}')\neq x_{1}x_{2}+x_{1}'x_{2}'\), also nicht linear

(iv)

\((x+x')\mapsto (x_{2}+x_{2}'-x_{1}-x_{1}', x_{1}+x_{1}'-x_{2}-x_{2}', 0)=(x_{2}-x_{1}, x_{1}-x_{2}, 0)+(x_{2}'-x_{1}', x_{1}'-x_{2}', 0)\)

also linear mit Kern \(\left<(1,1,0)\right>\) und Bild \(\left<(1,-1)\right>\)