Bestimmen Sie die Nullstellen, lokale Extrema und Wendestellen von f(x)= (x^3-3ax^2+3(a^2)x-a^3)(x+b).

Question

Gegeben sei die Funktion : f(x)= (x^3-3ax^2+3(a^2)x-a^3)(x+b)

Untersuchen Sie die Funktion auf Nullstellen, lokale Extrema und auf Wendestellen.

 

Answer 1

f(x)= (x^3 - 3ax^2 + 3(a^2)x - a^3) * (x + b) = (x - a)^3 * (x + b)

f '(x) = 3(x - a)^2 * (x + b) + (x - a)^3 * 1 = (x - a)^2 * (3(x + b) + (x - a)) = (x - a)^2 * (4x - a + 3b)

f ''(x) = 2(x - a) * (4x - a + 3b) + (x - a)^2 * 4 = (x - a) * (2(4x - a + 3b) + 4(x - a)) = (x - a) * (12x - 6a + 6b)

Nullstellen

f(x) = 0
(x - a)^3 * (x + b) = 0
x = a und x = -b

Extremstellen

f '(x) = 0
(x - a)^2 * (4x - a + 3b)
x = a und x = (a - 3b)/4

Wendestellen

f''(x) = 0
(x - a) * (12x - 6a + 6b) = 0
x = a und x = (a - b)/2

Da der Funktionsterm 4 Grades ist haben wir einen Sattelpunkt bei a und ein Tiefpunkt bei (a - 3b)/4. 

 

Comments

Könntest du vielleicht etwas näher auf die Faktorisierung, ganz am Anfang, eingehen?

Wär echt super, danke!

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Eigentlich sollte man das sehen, wenn man die erweiterten binomischen Formeln (a +- b))^n kennt.

Ansonsten muss man versuchen das

x^3 - 3ax^2 + 3(a^2)x - a^3 = 0

wird. Da hilft nur probieren. Allerdings sieht man wenn ich a einsetze das es dann erfüllt ist. Also könnte ich eine Polynomdivision durch (x - a) machen.

(x^3 - 3x^2·a + 3xa^2 - a^3) : (x - a) = x^2 - 2xa + a^2

Spätestens dort sieht man das es eine binomische Formel ist.