Anfangswertproblem: y' + 5y/x = 3x^3 (x> 0), y(1)= 7/3

Question

Lösen Sie das folgende Anfangswertproblem, führen Sie eine Probe durch:

\( y^{\prime}+\frac{5}{x} y=3 x^{3} \quad(x>0) \quad y(1)=\frac{7}{3} \)

Comments

Vielleicht hilft die die Lösung von Wolramalpha solange noch keiner geantwortet hat

Damit sollte die Funktion wie folgt lauten:

y = (x^9 + 6)/(3·x^5) = x^4/3 + 2/x^5

Answer 1

(1) Löse zunächst die homogene DGL \(y'+5\dfrac yx=0\).$$\frac{y'}y=-\frac5x$$$$\int\frac{\mathrm dy}y=-5\int\frac{\mathrm dx}x$$$$\log y=-5\log x+c_0$$$$y=\frac c{x^5}.$$(2) Lösung der inhomogenen DGL durch Variation der Konstanten \(c\).$$\frac{xc'-5c}{x^6}+\frac{5c}{x^6}=3x^3$$$$c'=3x^8$$$$c=\frac13x^9+K.$$Demnach lautet die allgemeine Lösung$$\boxed{y=\dfrac{x^4}3+\dfrac K{x^5}}.$$Aus der Randbedingung \(y(1)=\frac73\) folgt unmittelbar \(K=2\).