Untersuchung ganzrationaler Funktionen

Question

Hey leuts könnt ihr mir diese Aufgabe beantworten bitte:

Gegeben ist die Funktion f mit Gleichung

f(x)=-1/2x^3+5x^2-14x+9

Weisen Sie rechnerisch nach,dass der Graph von f die lokalen Extrempunkte T(2/-3) und H(14/3  /  47/27) besitzt.


Könnt ihr auch genau die Rechenschritte aufschreiben bitte da ich das sonst nicht verstehe,

danke :)

Answer 1

f ( x ) =-1/2 * x³ +  5 *x²  -  14 * x  +  9

Weisen Sie rechnerisch nach,dass der Graph von f die
lokalen Extrempunkte T(2/-3) und H(14/3  /  47/27) besitzt.

f ´ ( x )  = -3/2 * x^2 + 10 * x - 14
f ´´ ( x ) = -3 * x + 10
Stellen mit Steigung = 0
-3/2 * x^2 + 10 * x - 14 = 0 
| mit pq-Formel oder quadratischer Ergänzung lösen
-3/2 * x^2 + 10 * x - 14 = 0  | * - 2/3
x^2  -  20/3 * x + 28 /3 = 0
x^2 - 20/3 + (10/3)^2 = - 28/3 + 100/9
( x - 10/3 )^2 = 16/9  | Wurzelziehen
x - 10/3 = ± 4/3
x = 14/3
x = 6/3 = 2
Werte in die 2.Ableitung einsetzen
f ´´ ( 14/3 ) = -3 * 14/3 + 10 = -4  | Hochpunkt
f ´´ ( 2 ) = -3 * 2 + 10 = 4  | Tiefpunkt

Jetzt wäre noch der Funktionswert von x = 14/3 und x = 2
auszurechnen und mit der Angabe in der Aufgabenstellung
zu vergleichen.

Bei Fehlern oder Fragen wieder melden.

mfg Georg