Harmonische Reihe: Wie bestimme ich N damit Summe größer als 99 ist?

Question

Harmonische Reihe:

Wie bestimme ich N, sodass \( \sum \limits_{n=1}^{N} \frac{1}{n}>99 \)

Answer 1

Bekanntlich gilt \(e^x>1+x\) und damit \(x>\log(1+x)\)für alle \(x>0\). Insbesondere git \(\frac 1n>\log(1+\frac 1n)\) für alle \(n\in\mathbb N\). Es gilt also für alle \(N\in\mathbb N\)$$\sum_{n=1}^N\frac 1n>\sum_{n=1}^N\log\left(1+\frac 1n\right)=\sum_{n=1}^N\log\frac{n+1}n=\sum_{n=1}^N\big(\log(n+1)-\log n\big)$$Es folgt$$\sum_{n=1}^N\frac 1n>\log(N+1)\text{ für alle }N\in\mathbb N.$$Es gelte \(\log(N+1)>99\). Wähle also \(N\in\mathbb N\) mit \(N>e^{99}-1.\)

Comments

Ist die Umkehrung von e^x nicht ln statt log?

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Richtig. Gast hj19 benutzt log für ln. Das macht auch Wolframalpha: https://www.wolframalpha.com/input/?i=ln%28x%29

Schreibe aber ln ab, wenn ihr ln eingeführt habt.